SPOJ QTREE4 - Query on a tree IV 树分治
题意：
给出一棵边带权的树，初始树上所有节点都是白色。
有两种操作：
- C x，改变节点x的颜色，即白变黑，黑变白
- A，询问树中最远的两个白色节点的距离，这两个白色节点可以重合(此时距离为0)。
分析：
网上大概有3中解法，树链剖分，点分支，边分治。
这里用的是漆子超论文中边分治的解法。
重构树形态
因为边分治遇到菊花形的树复杂度会退化，所以我们要重构一遍树。
向树中加入一些虚点，连接到虚点的边的权值都为0，而且将虚点的颜色设为黑色。
这样就得到一棵二叉树，而且不会影响正确答案。
重构以后的树的顶点个数会变成原来的两倍左右。
分治过程
分治的时候我们首先要找到树的中心边，即两端较大子树最小的那条边。
相距最远的两个白点，有两种情况：
- 都在中心边的某侧子树中，这种情况我们递归处理。
- 最长路径经过中心边，也就是两点分别在两个子树中。
对于第二种情况，我们维护两个优先队列，子树中的白点到根节点的最远距离。
这样我们便能很快求得经过中心边的最长路径。
另外，我们不能确定最远路径经过哪棵子树的中心边，所以还要维护一个整体的堆，即经过各个子树中心边能得到的最长路径。
修改操作
预处理的时候，顺便记录下来每个节点分别都在哪些子树中。
这样修改点的颜色后，不光要修改对应优先队列的内容，还要手工维护那个全局的堆。
因为一个点最多被O(logn)棵树包含，修改每棵树的复杂度是O(logn)，所以每次修改的复杂度为O(log^2n)。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#define F first
#define S second
#define MP make_pair
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int maxn = 200000 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge
{
int v, w, nxt;
Edge() {}
Edge(int v, int w, int nxt): v(v), w(w), nxt(nxt) {}
};
int n, m, color[maxn];
int head[maxn], tmp[maxn], ecnt;
Edge edges[maxn * 4];
void build(vector<int>& ch, int u, int L, int R) {
if(L > R) return;
if(L == R) {
Edge& e = edges[ch[L]];
int v = e.v, w = e.w;
//printf("AddEdge %d <---> %d\n", u, v);
edges[ecnt] = Edge(v, w, tmp[u]); tmp[u] = ecnt++;
edges[ecnt] = Edge(u, w, tmp[v]); tmp[v] = ecnt++;
return;
}
int M = (L + R) / 2;
int o = ++n; color[o] = 1;
//printf("AddEdge %d <---> %d\n", u, o);
edges[ecnt] = Edge(o, 0, tmp[u]); tmp[u] = ecnt++;
edges[ecnt] = Edge(u, 0, tmp[o]); tmp[o] = ecnt++;
build(ch, o, L, M);
build(ch, o, M+1, R);
}
void rebuild(int u, int fa) {
vector<int> ch;
for(int i = head[u]; ~i; i = edges[i].nxt) {
int v = edges[i].v;
if(v == fa) continue;
rebuild(v, u);
ch.push_back(i);
}
if(!ch.empty()) {
int sz = ch.size() - 1;
int mid = sz / 2;
build(ch, u, 0, mid);
build(ch, u, mid + 1, sz);
}
}
bool del[maxn];
int sz[maxn], tot, pos[maxn];
priority_queue<PII> PQ[maxn * 2];
vector<PII> b[maxn];
PII heap[maxn];
char op[5];
PII findCenter(int u, int fa, int cnt) {
sz[u] = 1;
PII ans(INF, -1);
int m = 0;
for(int i = head[u]; ~i; i = edges[i].nxt) {
int v = edges[i].v;
if(del[i >> 1] || v == fa) continue;
ans = min(ans, findCenter(v, u, cnt));
sz[u] += sz[v];
ans = min(ans, MP(max(sz[v], cnt - sz[v]), i));
}
return ans;
}
void getdist(int u, int fa, int d, int id) {
b[u].push_back(MP(id, d));
if(!color[u]) PQ[id].push(MP(d, u));
++tot;
for(int i = head[u]; ~i; i = edges[i].nxt) {
Edge& e = edges[i];
int v = e.v, w = e.w;
if(del[i >> 1] || v == fa) continue;
getdist(v, u, d + w, id);
}
}
void divide(int u, int cnt) {
if(cnt <= 1) return;
int s = findCenter(u, 0, cnt).S;
del[s >> 1] = true;
tot = 0; PQ[s].push(MP(-INF, -1));
getdist(edges[s].v, 0, 0, s);
int sz1 = tot;
tot = 0; PQ[s^1].push(MP(-INF, -1));
getdist(edges[s^1].v, 0, 0, s^1);
int sz2 = tot;
heap[s >> 1] = MP(PQ[s].top().F + edges[s].w + PQ[s^1].top().F, s >> 1);
divide(edges[s].v, sz1);
divide(edges[s^1].v, sz2);
}
void down(int x) {
int i = x , j = i << 1 | 1;
pair<int , int> t = heap[i];
if (j + 1 < m && heap[j + 1] > heap[j])
++ j;
while (j < m && t < heap[j]) {
pos[heap[j].second] = i , heap[i] = heap[j];
i = j , j = i << 1 | 1;
if (j + 1 < m && heap[j + 1] > heap[j])
++ j;
}
heap[i] = t , pos[t.second] = i;
}
void up(int x) {
int i = x , j = (i + 1 >> 1) - 1;
pair<int , int> t = heap[i];
while (j >= 0 && heap[j] < t) {
pos[heap[j].second] = i , heap[i] = heap[j];
i = j , j = (i + 1 >> 1) - 1;
}
heap[i] = t , pos[t.second] = i;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
memset(head, -1, sizeof(head));
ecnt = n * 6;
for(int i = 1; i < n; i++) {
int u, v, w; scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
edges[ecnt] = Edge(v, w, head[u]); head[u] = ecnt++;
edges[ecnt] = Edge(u, w, head[v]); head[v] = ecnt++;
}
int white = n;
ecnt = 0;
memset(tmp, -1, sizeof(tmp));
rebuild(1, 0);
memcpy(head, tmp, sizeof(tmp));
divide(1, n);
m = ecnt >> 1;
make_heap(heap, heap + m);
for(int i = 0; i < m; i++) pos[heap[i].S] = i;
int _; scanf("%d", &_);
while(_--) {
scanf("%s", op);
if(op[0] == 'A') {
if(!white) puts("They have disappeared.");
else if(white == 1) puts("0");
else printf("%d\n", max(heap[0].F, 0));
} else {
int u; scanf("%d", &u);
color[u] ^= 1;
if(color[u]) white--; else white++;
for(PII t : b[u]) {
int s = t.F, d = t.S;
if(!color[u]) PQ[s].push(MP(d, u));
while(~PQ[s].top().S && color[PQ[s].top().S]) PQ[s].pop();
heap[pos[s >> 1]].F = PQ[s].top().F + edges[s].w + PQ[s^1].top().F;
down(pos[s >> 1]); up(pos[s >> 1]);
}
}
}
return 0;
}
