CodeForces 568B DP Symmetric and Transitive

题意：

根据离散数学的内容知道，一个二元关系是一个二元有序组<x, y>的集合。

然后有一些特殊的二元关系，比如等价关系，满足三个条件：

• 自反性，任意的x，都有二元关系<x, x>
• 对称性，如果有<x, y>则有<y, x>
• 传递性，如果有<x, y>和<y, z>，则有<x, z>

 

现在要统计满足后两条，但不满足第一个条件的二元关系的个数。

 

题中的证明是对的：

If , then (according to property (2)), which means (according to property (3)).

但是前提条件不一定存在，比如对于a，没有一个b满足那么后面的推导就无从谈起了。

 

不妨把这些不和其他元素(包括自己)产生二元关系的元素称作「空」的。

只要至少有一个「空」的元素，而且其他的元素都在某个等价类里面，就满足题目中的要求。

枚举非「空」元素的个数k(1 ≤ k ≤ n)，选出k个元素有C(n, k)中方案，再乘上将k个元素划分为若干个等价类的方案数eq[k]，累加起来就是答案。

 

eq数组可以这样计算：

设d(i, j)为将i个元素划分为j个不同等价类的方案数，d(i, j) = d(i-1, j) * j + d(i-1, j-1) //考虑第i个数加入已有的j个等价类，或者自己成为一个新的等价类

那么eq[i] = sum{ d(i, j) | 0 ≤ j ≤ i }

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn = 4000 + 10;
const LL MOD = 1000000007;

LL C[maxn][maxn], d[maxn][maxn];

void add(LL& x, LL y)
{
    x += y;
    if(x >= MOD) x -= MOD;
}

int main()
{
    int n; scanf("%d", &n);

    for(int i = 0; i <= n; i++) C[i][0] = C[i][i] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j < i; j++) C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % MOD;

    d[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++) d[i][j] = (d[i-1][j] * j + d[i-1][j-1]) % MOD;

    LL ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        LL eq = 0;
        for(int j = 0; j <= i; j++) add(eq, d[i][j]);
        ans = (ans + C[n][i] * eq) % MOD;
    }

    printf("%I64d\n", ans);

    return 0;
}