UVa 10943 (数学 递推) How do you add?

将K个不超过N的非负整数加起来，使它们的和为N，一共有多少种方法。

设d(i, j)表示j个不超过i的非负整数之和为i的方法数。

d(i, j) = sum{ d(k, j-1) | 0 ≤ k ≤ i }，可以理解为前j-1个数之和为i-k，最后一个数为k

 

还有一种更快的递推办法，把这个问题转化为将N个小球放到K个盒子中的方法数，盒子可以为空。

就等价于求x₁ + x₂ +...+ x_K = N的非负整数解的个数，根据组合数学的知识容易算出结果为C(N+K-1, K-1).

所以也可以这样递推：d(i, j) = d(i-1, j) + d(i, j-1)

#include <cstdio>

const int M = 1000000;
const int maxn = 100;
int d[maxn + 10][maxn + 10];

int main()
{
    for(int i = 1; i <= maxn; i++)
        d[0][i] = 1;
    for(int i = 1; i <= maxn; i++)
        for(int j = 1; j <= maxn; j++)
            d[i][j] = (d[i-1][j] + d[i][j-1]) % M;

    int n, k;
    while(scanf("%d%d", &n, &k) == 2 && n && k) printf("%d\n", d[n][k]);

    return 0;
}