UVa 10294 (Pólya计数) Arif in Dhaka (First Love Part 2)

Burnside定理：若一个着色方案s经过置换f后不变，称s为f的不动点，将置换f的不动点的数目记作C(f)。等价类的数目等于所有C(f)的平均值。

一个项链，一个手镯，区别在于一个能翻转一个不能，用t种颜色染n颗珠子，求等价类的个数。

旋转置换群一共有n个置换，分别对应将项链整体逆时针旋转0个、1个、2个...珠子的置换。

对于第i个置换，第0个、i个、2i...个珠子构成一个循环，共有gcd(n, i)个循环，每个循环中有n / gcd(n, i)个珠子。

所以n个置换，每个置换的不动点有t^{gcd(i, n)}个。

 

对于翻转的置换群根据n的奇偶分两种情况：

• n为奇数，对称轴有n条，每条都穿过一个珠子，每个置换有(n+1)/2个循环，其中包括(n-1)/2个长度为2的循环和一个长度为1的循环(就是穿过的那个珠子)。所以不动点的总数为nt^(n+1)/2
• n为偶数，有n/2条穿过珠子的对称轴，每个对称轴穿过两个珠子。共有n/2+1个循环，其中包括n/2-1个长度为2的循环 和 2个长度为1的循环；还有n/2条不穿过珠子的对称轴，共有n/2个长度为2的循环。

另 a = sum{ t^{gcd(m, i)} | 0 ≤ i ≤ n-1 }

如果n为奇数，b = nt^(n+1)/2

如果n为偶数，b = n/2 * (t^(n/2+1) + t^n/2)

则所求答案分别为 a/n 和 (a+b)/(2n)

#include <cstdio>
typedef long long LL;

int gcd(int a, int b)
{ return b == 0 ? a : gcd(b, a%b); }

const int maxn = 55;
LL p[maxn];

int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);

    p[0] = 1;
    int n, t;
    while(scanf("%d%d", &n, &t) == 2)
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++) p[i] = p[i-1] * t;
        LL a = 0, b = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) a += p[gcd(n, i)];
        if(n & 1) b = n * p[(n+1)/2];
        else b = n/2 * (p[n/2+1] + p[n/2]);
        printf("%lld %lld\n", a/n, (a+b)/n/2);
    }

    return 0;
}