UVa 11825 (状压DP) Hackers' Crackdown

这是我做状压DP的第一道题，状压里面都是用位运算来完成的，只要耐下心来弄明白每次位运算的含义，还是容易理解的。

题意：

有编号为0~n-1的n台服务器，每台都运行着n中服务，每台服务器还和若干台其他服务器相连。对于每台服务器，你可以选择停止该台以及与这台服务器相连的服务器的一项服务。如果一台服务器的所有服务都被停止，则这台服务器瘫痪。问最多能使多少台服务器瘫痪

 

转化为数学模型(题目是如何抽象成这种数学模型的也要好好想想)：

把n个集合尽可能多的分成若干组，使得每组所有集合的并集为全集。这里集合Pi表示服务器i以及与其相邻服务器的集合

 

算法：

数组P[i]表示服务器i以及与其相邻服务器的集合的二进制表示

枚举所有集合可能的组合情况，一共有2ⁿ种，计算其并集保存在cover中

f[S]表示子集S最多可以分成多少组

状态转移方程：

枚举S的子集S0

f[S] = max{f[S], f[S - S0] + 1 | 这里S0是S子集而且cover[S0]为全集}

 

这里再说一下枚举S0用代码实现的技巧：

在二进制中S0的1的个数肯定比S要少，所以从数值大小上来看S0 < S

我们先令S0 = S - 1

那么 S & (S0 - 1)就是S的子集了

因为上面的表达式满足两个条件：

1. S0 < S
2. S0的1的个数比S要少

 

S ^ S0的含义：

S ^ S0代表以S为全集S0的补集，为什么用异或运算实现呢？自己动手模拟一下就清楚了，嘿嘿

 

好了，写到这里，这道题就分析的很透彻了。看来位运算还是蛮有意思的

 

//#define LOCAL
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = (1 << 16) + 10;
int cover[maxn], p[20], f[maxn];

int main(void)
{
    #ifdef LOCAL
        freopen("11825in.txt", "r", stdin);
    #endif

    int n, kase = 0;
    while(scanf("%d", &n) == 1 && n)
    {
        memset(f, 0, sizeof(f));
        for(int i = 0; i < n; ++i)
        {
            int m, x;
            scanf("%d", &m);
            p[i] = (1 << i);
            while(m--)
            {
                scanf("%d", &x);
                p[i] |= (1 << x);
            }
        }

        for(int i = 0; i < (1 << n); ++i)
        {
            cover[i] = 0;
            for(int j = 0; j < n; ++j)
            {
                if(i & (1 << j))
                    cover[i] |= p[j];
            }
        }

        f[0] = 0;
        int all = (1 << n) - 1;
        for(int s = 1; s < (1 << n); ++s)
        {
            f[s] = 0;
            for(int s0 = s; s0; s0 = (s0 - 1) & s)
                if(cover[s0] == all)
                    f[s] = max(f[s], f[s0 ^ s] + 1);
        }

        printf("Case %d: %d\n", ++kase, f[all]);
    }
    return 0;
}