曲面and曲线积分5

$1.求I=\oiint_{\Sigma}(x-y+z)dydz+(y-z+x)dzdx+(z-x+y)dxdy，\\其中\Sigma为曲面|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1的外侧。$

• $一看就要换元。但是在第二型曲面积分中，我们一般先使用高斯公式再换元$

$$I=\iiint_V \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}dxdydz=3\iiint_{V}dxdydz$$

• $作换元$

$$\left \{ \begin{array}{rcl} &u=x-y+z \\ &v=y-z+x \\ &w=z-x+y \end{array} \right.$$

$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\frac{1}{\frac{\partial (u,v,w)}{\partial (x,y,z)}}=\frac{1}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\-1&1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}}=\frac{1}{4}$$

$$I=\frac{3}{4}\iiint_V dudvdw=\frac{3}{4}*8*\frac{1}{6}=1$$

$2.计算\iint_{\Sigma}\frac{axdydz+(z+a)^2dxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}}，其中\Sigma为下半球面z=-\sqrt{a^2-x^2-y^2}的上侧，a>0。$

• $这题直接投影不太好做，还得注意负号。也不能直接补面\Sigma_1:x^2+y^2=a^2然后套高斯公式，因为原点是奇点。$
• $注意到在\Sigma上x^2+y^2+z^2=a^2$

$$I=\iint_{\Sigma}\frac{axdydz+(z+a)^2dxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}}=\iint_{\Sigma}\frac{axdydz+(z+a)^2dxdy}{a}$$

• $然后就可以补一个面\Sigma_1，用高斯公式了。\Sigma_1取向上方向$

$$-I=\iint_{\Sigma^{-}+\Sigma_1}+\iint_{\Sigma_1^{-}}=J_1+J_2$$

$$J_1=\frac{1}{a}\iiint_V(a+2(z+a))dxdydz=\frac{1}{a}\iiint_V(2z+3a)dxdydz$$

$$J_1=\frac{1}{a}\cdot3a\cdot \frac{2}{3}\pi a^3+\frac{1}{a}\int_{0}^{-a}\pi 2z(a^2-z^2)dz=2\pi a^3+\frac{1}{2}\pi a^3=\frac{5}{2}\pi a^3$$

$$J_2=-\frac{1}{a}\iint_{\Sigma_1}a^2dxdy=-\pi a^3$$

$$I=-(J_1+J_2)=-\frac{3}{2}\pi a^3$$

$3.计算I=\iint_{\Sigma}(8y+1)xdydz+2(1-y^2)dzdx-4yzdxdy，\\其中\Sigma是yOz坐标面上的曲线段z=\sqrt{y-1}（1 \leq y \leq 3）绕y轴转一周生成的曲面的左侧。$

• $第二型曲面积分不是投影就是高斯公式。$
• $这题投影可以做，但是比较难做。高斯相对容易$
• $补面\Sigma_1:x^2+z^2=2，方向朝右（与y轴一致）$

$$I=\iint_{\Sigma+\Sigma_1}+\iint_{\Sigma_1^-}=J_1+J_2$$

$$J_1=\iiint_{V}(8y+1-4y-4y)=\iiint_V=\int_{1}^{3}\pi(y-1)dy=2\pi$$

$$J_2=-\iint_{\Sigma_1}2(1-y^2)dzdx=16\iint_{\Sigma_1}dzdx=32\pi$$

$$I=J_1+J_2=34\pi$$

$4.设球体(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \leq 12被平面P：x+y+z=6所截的小球缺为\Omega。 \\ 记球缺上的球冠为\Sigma，方向指向球外，求第二型曲面积分I=\iint_{\Sigma}xdydz+ydzdx+zdxdy。\\（若缺高为h，则球缺的体积为\frac{\pi}{3}(3R-h)h^2）$

• $依然是高斯公式。补一下面\Sigma_1:截面，方向向球内$

$$I=\iint_{\Sigma+\Sigma_1}+\iint_{\Sigma_1^-}=J_1+J_2$$

• $容易计算出缺高为\sqrt{3}，根据球缺体积公式$

$$J_1=3\iiint_Vdxdydz=3\cdot \frac{\pi}{3}(3\cdot 2\sqrt{3}-\sqrt{3})\cdot 3=15\sqrt{3}\pi$$

• $容易求出截面\Sigma_1的面积为9\pi。所以$

$$J_2=\iint_{\Sigma_1^-}xdydz+ydzdx+zdxdy=\iint_{\Sigma_1^-}(\frac{x+y+z}{\sqrt{3}})dS=2\sqrt{3}\cdot 9\pi=18\sqrt{3}\pi$$

$$I=J_1+J_2=33\sqrt{3}$$