曲面and曲线积分4

$1.设函数\varphi(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意正向光滑的简单闭曲线C上，曲线积分\oint_{C} \frac{2xydx+\varphi(x)dy}{x^4+y^2}的值为常数K。\\ （1）设L为正向闭曲线(x-2)^2+y^2=1。证明：\oint_L \frac{2xydx+\varphi(x)dy}{x^4+y^2}=0。 \\（2）求函数\varphi(x)。\\（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求\oint_C \frac{2xydx+\varphi(x)dy}{x^4+y^2}。$

$（1）$

• $其实这里任意不包含原点的闭曲线环路积分都是0$
• $平面上任取两点A，B（均不是原点）$
• $作从A到B的不经过原点的曲线l_1,从B到A的不经过原点的曲线l_2，并保证它们构成的闭曲线中不包含原点$
• $再作一条从B到A的曲线l_3，使得l_1,l_3构成的闭曲线和l_2,l_3构成的闭曲线内部均包含原点$

$$\oint_{l_1+l_2}=\oint_{l_1+l_3}+\oint_{l_2+l_{3}^{-}}=0+0=0$$

$（2）$

• $上一小题的结论说明了，原点外的积分与路径无关。$
• $所以\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}恒成立。$

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\varphi'(x)(x^4+y^2)-4\varphi(x)x^3}{(x^4+y^2)^2}$$

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{2x(x^4+y^2)-4xy^2}{(x^4+y^2)^2}$$

• $因为恒成立，所以可以令y=0$

$$\varphi'(x)=\varphi(x)\frac{4}{x}+2x$$

$$\varphi(x)=e^{\int \frac{4}{x}dx}(\int 2xe^{-\int \frac{4}{x}dx}dx+C)=-x^2+Cx^4$$

$（3）$

• $作辅助曲线C_1:x^4+y^2=r^2,r充分小，方向为正$

$$\oint_C=\oint_{C+C_1^-}+\oint_{C_1}=\oint_{C_1}$$

$$\oint_{C_1}=\oint_{C_1}\frac{2xydx+(cx^4-x^2)dy}{r^2}=\frac{1}{r^2}\oint_{C_1}2xydx+(cx^4-x^2)dy$$

• $\frac{1}{r^2}拿出来了之后，就可以用格林公式$

$$\oint_{C_1}=\frac{1}{r^2}\iint_{x^4+y^2 \leq r^2}(4cx^3-2x-2x)dxdy=0$$

$2.计算I=\iint_{\Sigma}(xy+yz+xz)dS,其中\Sigma是圆锥面z=\sqrt{x^2+y^2}被圆柱面x^2+y^2=2ax(a>0)所截的部分。$

• $第一型曲面积分，要么都投影到xOy平面上做，要么选取合适的微元变成一元积分。$
• $这里是前者$

$$z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

$$z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

$$dS=\sqrt{1+z_{x}^2+z_{y}^2}dxdy=\sqrt{2}dxdy$$

• $另外，由于曲面关于zOx平面对称，所以xy+yz这部分积分为0$

$$I=\sqrt{2}\iint_{\Sigma}xzdxdy=\sqrt{2}\iint_{(x-a)^2+y^2 \leq a^2}x\sqrt{x^2+y^2}dxdy$$

• $作换元$

$$\left \{ \begin{array}{rcl} & x=rcos\theta \\ & y=rsin\theta \end{array} \right.(0\leq r \leq a,0 \leq \theta \leq 2 \pi)$$

$$I=\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{2acos\theta}r^3cos\theta dr=\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}4a^4cos^5\theta d\theta$$

• $应用一下Wallis公式。注意Wallis公式的积分是从0积到\frac{\pi}{2}，所以这里还要乘2$

$$I=4\sqrt{2}a^4 \cdot 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}=\frac{64\sqrt{2}}{15}a^4$$