【数学】曲面and曲线积分1

$1.计算曲线积分I=\oint_L x^2ds,其中L是球面(x-1)^2+(y+1)^2+z^2=a^2与平面x+y+z=0的交线。$

• $做换元u=x-1,v=y+1,w=z，得到$

$$\left \{ \begin{array}{rcl} &u+v+w=0 \\ &u^2+v^2+w^2=a^2 \\ \end{array} \right.$$

• $换元后弧长ds不变，所以$

$$I=\oint_{L'}(u+1)^2ds=\oint_{L'}u^2ds+2\oint_{L'}uds+\oint_{L'}ds=I_1+2I_2+I_3$$

• $易得I_2=0,I_3=2\pi a,下面计算I_1$

$$I_1=\frac{1}{3}\oint_{L'}u^2+v^2+w^2ds=\frac{2\pi}{3}a^3$$

• $所以$

$$I=\frac{2\pi}{3}a^3+2\pi a$$

$2.设l是围绕原点的正向光滑闭曲线，计算I=\oint_{l}Pdx+Qdy，其中P=\frac{e^x(xsiny-ycosy)}{x^2+y^2}，Q=\frac{e^x(xcosy+ysiny)}{x^2+y^2}$

• $这题有点难算，技巧性也很强，先试试格林公式$

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{e^x[(xcosy-(cosy-ysiny)(x^2+y^2)-(xsiny-ycosy)2y)]}{(x^2+y^2)^2}$$

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{(e^x(xcosy+ysiny)+e^xcosy)(x^2+y^2)-e^x(xcosy+ysiny)2x}{(x^2+y^2)^2}$$

$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$$

• $整个积分就等于0了？题目一般不会这么出吧。$
• $仔细一看(0,0)是奇点，不能套格林公式。那就作辅助线呗。$
• $作正向曲线C:x^2+y^2=r^2，并取坐标变换x=rcos\theta，y=rsin\theta$

$$I=\oint_l=\oint_{l+C^-}+\oint_{C}=0+\oint_C$$

• $这里我们取一个固定的r$

$$\oint_C=\oint_C (\frac{e^{rcos\theta}(rcos\theta sin(rsin\theta)-rsin\theta cos(rsin\theta))}{r^2})r(-sin\theta)d\theta+(\frac{e^{rcos\theta}(rcos\theta cos(rsin\theta)+rsin\theta sin(rsin\theta))}{r^2})rcos\theta d\theta$$

• $这坨东西不可能算得出来，但是它是一个只与r有关的函数F(r)$
• $积分符号里面的东西是连续的，所以F(r)是连续的$

$$\lim_{r \to 0}F(r)=F(0)=\oint_C (cos^2 \theta+sin^2 \theta)d\theta=\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi$$

• $因为r是可以任意取的，所以I=F(r)等于常数$

$$I=2\pi$$