【数学】莱布尼茨公式求导数的一些题目

莱布尼茨公式求导数的一些题目

$f(x)=(arcsin \ x)^2,求f^{(n)}(0)$

• $直接求n阶导太困难，先求一次导$

$$f'(x)=\frac{2arcsin \ x}{\sqrt{1-x^2}}$$

• $整理一下得到$

$$(1-x^2)[f'(x)]^2=4f(x)$$

• $两边同时再求导$

$$-2x[f'(x)]^2+2(1-x^2)f'(x)f''(x)=4f'(x)$$

$$f'(x)[2+xf'(x)-(1-x^2)f''(x)]=0$$

• $x=0时f'(x)=0,但可以验证2+xf'(x)-(1-x^2)f''(x)也等于0,所以可以约掉f'(x)$

$$2+xf'(x)-(1-x^2)f''(x)=0$$

• $再求n阶导得到$

$$xf^{(n+1)}(x)+nf^{(n)}(x)-[(1-x^2)f^{(n+2)}(x)-2nxf^{(n+1)}(x)-n(n-1)f^{(n)}(x)]=0$$

• $带入x=0得到$

$$f^{(n+2)}(0)=n^2f^{(n)}(0)$$

$最后根据f'(0)=0,f''(0)=2得到$

$$n=2k+1,f^{(n)}(0)=0$$

$$n=2k,f^{(n)}(0)=2^{2k-1}[(k-1)!]^2$$

$证明Legendre多项式P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}[(x^2-1)^n]^{(n)}满足$

$$(1-x^2)P''_n(x)-2xP'_n(x)+n(n+1)P_n(x)=0$$

• $令u=(x^2-1)^n$

$$u'=2nx(x^2-1)^{n-1}$$

• $整理得$

$$(x^2-1)u'=2nxu$$

• $两边同求n+1阶导$

$$(x^2-1)u^{(n+2)}+2(n+1)xu^{(n+1)}+n(n+1)u^{(n)}=2nxu^{(n+1)}+2n(n+1)u^{(n)}$$

$$(x^2-1)u^{(n+2)}+2xu^{(n+1)}-n(n+1)u^{(n-1)}=0$$

• $两边同乘\frac{-1}{2^nn!}即得证$

$求f(x)=arctan \ x 在x=0处的n阶导数$

• $法1：$

$$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$$

$$(1+x^2)f'(x)=1$$

• $两边同时运用莱布尼茨公式求n阶导$

$$(1+x^2)f^{(n+1)}(x)+2nxf^{(n)}(x)+n(n-1)f^{(n-1)}(x)=0$$

• $带入x=0得到$

$$f^{(n+1)}(x)=-n(n-1)f^{(n-1)}(x)$$

• $因为f'(0)=1,f''(0)=0，所以$

$$n=2k,f^{(n)}(0)=0$$

$$n=2k+1,f^{(n)}(0)=(-1)^{k}[(n-1)!]$$

• $法2：$

$$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}{(-1)^nx^{2n}}$$

• $两边求积分得到$

$$f(x)=\sum_{n=0}^{+ \infty}{\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}}$$

• $f(x)在x=0的Taylor展开式是$

$$f(x)=\sum_{n=0}^{+ \infty}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}$$

• $所以$

$$n=2k,f^{(n)}(0)=0$$

$$n=2k+1,f^{(n)}(0)=(-1)^{k}[(n-1)!]$$