【数学】莱布尼茨公式求导数的一些题目

莱布尼茨公式求导数的一些题目

\(f(x)=(arcsin \ x)^2,求f^{(n)}(0)\)

• \(直接求n阶导太困难，先求一次导\)

\[f'(x)=\frac{2arcsin \ x}{\sqrt{1-x^2}} \]

• \(整理一下得到\)

\[(1-x^2)[f'(x)]^2=4f(x) \]

• \(两边同时再求导\)

\[-2x[f'(x)]^2+2(1-x^2)f'(x)f''(x)=4f'(x) \]

\[f'(x)[2+xf'(x)-(1-x^2)f''(x)]=0 \]

• \(x=0时f'(x)=0,但可以验证2+xf'(x)-(1-x^2)f''(x)也等于0,所以可以约掉f'(x)\)

\[2+xf'(x)-(1-x^2)f''(x)=0 \]

• \(再求n阶导得到\)

\[xf^{(n+1)}(x)+nf^{(n)}(x)-[(1-x^2)f^{(n+2)}(x)-2nxf^{(n+1)}(x)-n(n-1)f^{(n)}(x)]=0 \]

• \(带入x=0得到\)

\[f^{(n+2)}(0)=n^2f^{(n)}(0) \]

\(最后根据f'(0)=0,f''(0)=2得到\)

\[n=2k+1,f^{(n)}(0)=0 \]

\[n=2k,f^{(n)}(0)=2^{2k-1}[(k-1)!]^2 \]

\(证明Legendre多项式P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}[(x^2-1)^n]^{(n)}满足\)

\[(1-x^2)P''_n(x)-2xP'_n(x)+n(n+1)P_n(x)=0 \]

• \(令u=(x^2-1)^n\)

\[u'=2nx(x^2-1)^{n-1} \]

• \(整理得\)

\[(x^2-1)u'=2nxu \]

• \(两边同求n+1阶导\)

\[(x^2-1)u^{(n+2)}+2(n+1)xu^{(n+1)}+n(n+1)u^{(n)}=2nxu^{(n+1)}+2n(n+1)u^{(n)} \]

\[(x^2-1)u^{(n+2)}+2xu^{(n+1)}-n(n+1)u^{(n-1)}=0 \]

• \(两边同乘\frac{-1}{2^nn!}即得证\)

\(求f(x)=arctan \ x 在x=0处的n阶导数\)

• \(法1：\)

\[f'(x)=\frac{1}{1+x^2} \]

\[(1+x^2)f'(x)=1 \]

• \(两边同时运用莱布尼茨公式求n阶导\)

\[(1+x^2)f^{(n+1)}(x)+2nxf^{(n)}(x)+n(n-1)f^{(n-1)}(x)=0 \]

• \(带入x=0得到\)

\[f^{(n+1)}(x)=-n(n-1)f^{(n-1)}(x) \]

• \(因为f'(0)=1,f''(0)=0，所以\)

\[n=2k,f^{(n)}(0)=0 \]

\[n=2k+1,f^{(n)}(0)=(-1)^{k}[(n-1)!] \]

• \(法2：\)

\[f'(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}{(-1)^nx^{2n}} \]

• \(两边求积分得到\)

\[f(x)=\sum_{n=0}^{+ \infty}{\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}} \]

• \(f(x)在x=0的Taylor展开式是\)

\[f(x)=\sum_{n=0}^{+ \infty}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n} \]

• \(所以\)

\[n=2k,f^{(n)}(0)=0 \]

\[n=2k+1,f^{(n)}(0)=(-1)^{k}[(n-1)!] \]