【数学】莱布尼茨Leibniz公式求导

$试证(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}sin(bx+n\phi)=\sum_{i=0}^{n}{\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}a^{n-i}b^{i}e^{ax}sin(bx+\frac{\pi}{2}i)，其中\phi = arctan(\frac{b}{a})$

• $令F(x)=e^{ax}sin(bx)$

$$F^{'}(x)=ae^{ax}sin(bx)+be^{ax}cos(bx)$$

• $合一变形$

$$F^{'}(x)=e^{ax}(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}sin(bx+\phi) ,其中\phi = arctan(\frac{b}{a})$$

• $再重复n-1次求导$

$$F^{(n)}(x)=e^{ax}(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}sin(bx+n\phi)$$

• $另一方面，对F(x)应用Leibniz公式$

$$F^{(n)}(x)=\sum_{i=0}^{n}{\left( \begin{array}{c}n \\ i\end{array}\right)a^{n-i}b^{i}e^{ax}sin(bx+\frac{\pi}{2}i)}$$

• $得证$