【数学】一元微分定义

\(设函数f(x)在\)\(x=0处连续\)，\(并且lim_{x \to 0}{\frac{f(2x)-f(x)}{x}}=A\),\(求证:f^{'}(0)存在，且\)\(f^{'}(0)=A。\)

• \(因为\)

\[lim_{x \to 0}{\frac{f(2x)-f(x)}{x}}=A \]

• \(所以对任意\epsilon ，存在\delta,使得当x\in (-\delta,\delta)时，\)

\[A-\epsilon<{\frac{f(2x)-f(x)}{x}}<A+\epsilon \]

• \(令x_k = \frac{1}{2^k}x,因为x_k \in (-\delta,\delta),所以\)

\[A-\epsilon<{\frac{f(\frac{1}{2^{k-1}}x)-f(\frac{1}{2^k}x)}{\frac{1}{2^k}x}}<A+\epsilon \]

\[\frac{1}{2^k}x(A-\epsilon)<f(\frac{1}{2^{k-1}}x)-f(\frac{1}{2^k}x)<\frac{1}{2^k}x(A+\epsilon) \]

• \(累加求和\)

\[\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{2^k}x(A-\epsilon)<\sum_{k=1}^{+\infty}f(\frac{1}{2^{k-1}}x)-f(\frac{1}{2^k}x)<\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{2^k}x(A+\epsilon) \]

• \(因为\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{2^k}=1，\sum_{k=1}^{+\infty}f(\frac{1}{2^{k-1}}x)-f(\frac{1}{2^k}x)=f(x)-f(0) (要利用连续性)，所以\)

\[(A-\epsilon)x<f(x)-f(0)<(A+\epsilon)x \]

\[A-\epsilon<\frac{f(x)-f(0)}{x}<A+\epsilon \]

• \(所以\)

\[lim_{x \to 0}{\frac{f(x)-f(0)}{x}}=f^{'}(0)=A \]