组合计数思维题

我们先研究一道数学题，请说出下面的方程有多少组正整数解：\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 8\) 。
你可能已经想到了，这个问题其实等同于将 \(8\) 个苹果分成 \(4\) 组且每组至少 \(1\) 个苹果有多少种方案，因此该问题还可以进一步等价于在分隔 \(8\) 个苹果的 \(7\)个 空隙之间插入 \(3\) 个隔板将苹果分成 \(4\) 组有多少种方案，也就是从 \(7\) 个空隙选出 \(3\) 个空隙放入隔板的组合数，所以答案是 \(C_7^3=35\)。组合数的计算公式如下所示：\(C_M^N = \frac{M!}{N!(M-N)!}\) 。