dfs剪枝(排除等效冗余)

一、剪枝优化

1.优化搜索顺序：有限考虑分支较少的搜索方式，常见的比如从大到小排序
2.排除等效冗余：排除等效的情况，本题就是很好的例子，稍后解释
3.可行性剪枝
4.最优性剪枝

二、本题的排除等效冗余

1.如果是木棒的第一段就搜索失败了，则一定搜不到方案
2.如果是木棒的最后一段搜索失败了，则一定搜索不到方案
3.如果木棒的长度为k的一段搜索失败了，那么后续同样长为k的一段同样也会搜索失败

剪枝3 比较明显，下面证明剪枝1和剪枝2

例如：\(1,1,1,3,.....\)

对于剪枝1，我们用反证法：假设某个木棒的第一段搜索失败了，存在解决方案
假如开始将 \(3\) 作为木棒 \(a\) 的第一段搜索失败了，但存在一种合法方案，那么 \(3\) 肯定会放在后面的木棒 \(b\) 中，但我们交换木棒 \(a\) 和木棒 \(b\) 的搜索顺序并不会影响答案，因此这与 \(3\) 作为木棒 \(a\) 的第一段搜索失败矛盾。

对于剪枝2，我们用反证法：假设某个木棒的最后一段搜索失败了，存在解决方案
假如将 \(3\) 作为木棒 \(a\) 的最后一段搜索失败了，但存在一种合法方案，那么肯定会存在 \(k(k>1)\) 根木棒（不妨为 \(1,1,1\) ）使得这 \(k\) 根木棒作为 \(a\) 的最后阶段成功，并且 \(3\) 作为木棒 \(b\) 的一段成功，同理我们可以将 \(3\) 看作木棒 \(b\) 的最后一段，而交换木棒 \(a\) 和木棒 \(b\) 的搜索顺序并不会影响答案，故矛盾。

参考----------->

三、Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 70;

int n, w[N];
bool st[N]; // 因为我们需要剪枝实现跳跃，因此需要st标记

// 当前已经恢复了cnt根木棍,每根木棍的长为length
// 当前正在恢复的木棍长为cur
// 下次dfs从start开始遍历w数组
// 所有木棍长度之和为sum
int sum, length;
bool dfs(int cnt, int cur, int start)
{
    if(cnt * length == sum) return true;
    if(cur == length)   return dfs(cnt + 1, 0, 0);
    
    for(int i = start; i < n; i ++ )
    {
        if(!st[i] && cur + w[i] <= length)
        {
            st[i] = true;
            if(dfs(cnt, cur + w[i], i + 1)) return true;
            st[i] = false;
            
            // 走到这里说明第i根木棍放在这没有合法方案
            
        // case1
            if(!cur)    return false;       
        // case2
            if(cur + w[i] == length)    return false; 
        // case3，下一次for从j开始，但下一次dfs仍从start开始
            int j = i;
            while(j < n && w[j] == w[i])    j ++ ;
            i = j - 1;
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    while(cin >> n, n)
    {
        memset(st, false, sizeof st);
        sum = 0;
        for(int i = 0; i < n; i ++ )    cin >> w[i], sum += w[i];
        sort(w, w + n, greater<int>()); // 从大到小排序，优化搜索顺序
        for(length = 1; length <= sum; length ++ )
        {
            if(sum % length == 0 && sum / length <= n && dfs(0, 0, 0))
            {
                cout << length << endl;
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}