LeetCode354 -- 最长上升子序列
1. 题目描述
2. 思路
非常明显的上升子序列问题。但是我在做的时候遇到了一个之前做 \(LCS\) 从来没考虑过的点。
之前都是直接排序，而无论是左端点优先还是右端点优先，假设左端点优先吧并且一般都是升序，我们一般是让右端点也升序的。
也就是说，左右端点都是升序的。做了很多 \(LCS\)，都没有问题，直到这里，由于一些机缘巧合，\(bug\) 来了！
看看下面的例子：\([1,10], [2,4], [3,5]\)
我在做的时候，因为数据规模在 \(10^{5}\), 所以使用了贪心的做法，按照左端点升序，然后右端点升序。
然后二分查找合适的长度并更新答案。
然后对于每个长度，保存一个 \([left,right]\)，即 q[len] = {left, right},表示长度为 \(k\) 时，左右端点的最小值。（注意⚠️，这句话问题很大！）
对于该例子，我们希望输出长度 \(2\)，即，\([2,4], [3,5]\) 显然是符合条件的。
但是我的程序输出了 \(1\)，为什么呢？
原来是，长度为 \(1\) 时，我们选择了 \([1, 10]\)，而遍历到 \([2,4]\) 时，\(4 < 10\)，因此跳过去了，\([3,5]\) 也是。
注意到问题所在了没有？对于 \([1,10]\) 和 \([2,4]\)，谁“更小”？
答案是不知道或者说是不确定🤔。
对于该例子，显然 \([2,4]\) 更合适，好像乍看起来，如果后面的数的右端点更小的话，总是更合适啊？
别急，看下面的例子：\([3,10], [12,1], [12,11], [13,20]\)
长度为 \(1\) 时，应该选择 \([3,10]\) 而不是 \([12,1]\)。啊，麻烦了！
我们发现，我们无法确定谁更好，到底是选择左端点小的呢？还是右端点小的呢？不知道，除非我们知道后面的数据是什么。
但是显然我们不知道后面的数据。
这时候，就要拷问前面的⚠️了！对于每个长度，我们保存了两个信息，这就会导致歧义，到底是第一个信息（\(left\)）的优先级高？还是第二个信息 （\(right\)）的优先级高呢？
不知道！
但是如果我们只保存了一个信息的话，那么就可以准确的确定优先级了（不会有歧义）！
因为我们按照左端点排序的，所以左端点肯定是升序（⚠️不严格升序）的，出于贪心的角度，我们肯定希望右端点越小越好，这样后面的区间就更容易合法。
那么我们就只保存右端点即可，即 q[len] = right
好像大功告成了？\(NO\)！
对于这个例子，\([3,5], [12,7], [12,11], [13,20]\)，如果我们按照上面的思路，结果会是 \(4\) 而不是 \(3\)。
因为我们会把 \([12,7], [12,11]\) 都算作答案，你可能会问，你在比较一下左端点不就行了吗？
但是我们的 q[len] 只保存了右端点啊，如果你想要比较左端点，你就需要再保存它，那不就会到上面的讨论了吗？
怎么办呢？
答案是，对于右端点，我们不能升序，而是降序，将序列转化为：
\([3,5], [12,11], [12,7], [13,20]\)，那么由于 \([12,7]\) 的右端点小于 \([12,11]\) 的右端点，所以就不会选它了。
这样就可以完全避免左端点相等时多次选取的情况，因为如果左端点相等，那么右端点大的总是先出现，它先出现就会导致下一个区间的右端点匹配失败，
你可能会问，那不就是让右端点每次选取最大值了吗！\(oh\)，我们一开始就提到过了，有时候右端点越小越好啊！
且慢！
在 \([3,5], [12,7], [12,11], [13,20]\) 中，当我们遍历到 \([12,11]\) 时，它更新的是 q[3] 也就是长度为 \(3\) 的情况。
而在 \([3,5], [12,11], [12,7], [13,20]\) 中，它更新的是 q[2] 也就是长度为 \(2\) 的情况，此时 q[2]=11 -> q[2]=7，成功替换为了更小的值！
看出来区别了吧！
总之，意会吧！
最后提一点，如果我们没有使用贪心优化的做法， 而是使用暴力 \(O(n^2)\) 的话，是不需要考虑这些的，直接全部升序排就行了！
因为此时对于左右端点的信息，我们可以轻松得知！
3. 代码
下面代码，我是按照左端点升序，右端点降序排序的，然后 q[] 保存右端点的最小值。
我们也可以右端点升序，左端点降序排序的，然后 q[] 保存左端点的最小值。
class Solution {
public:
int maxEnvelopes(vector<vector<int>>& g) {
int n = g.size();
sort(g.begin(), g.end(), [&](auto &x, auto &y){
if(x[0] == y[0]) return x[1] > y[1]; // ⚠️
return x[0] < y[0];
});
vector<int> q(n + 10);
int len = 0;
for(auto &x : g) {
int l = 0, r = len;
while(l < r) {
int mid = l + r + 1 >> 1;
if(x[1] > q[mid]) l = mid;
else r = mid - 1;
}
len = max(len, l + 1);
q[l + 1] = x[1]; // 一定更小
}
return len;
}
};
