Bug -- 线性筛素数

发现 bug 的题目

bug 代码

void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i < n; i ++ )
    {
        if(!st[i])  primes[idx ++ ] = i;
        for(int j = 0; primes[j] < n / i ; j ++ )  // (1)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if(i % primes[j] == 0)  break;
        }
    }
}

看起来人畜无害的样子，甚至还在 \((1)\) 将乘法变为除法防止溢出。但其实，问题就出现在这里！
除法，是可能不能整除的！如果不能整除，\(C\)++ 默认下取整。
又因为，我们的比较符号是小于等于，这就导致下取整得到的结果我们取不到了！
所以，在下面的 st[primes[j]*i]=true; 中，我们就会少判断了一些 primes[j]
因为下取整导致循环提前结束掉了！
但是防止溢出却是是个好技巧，我们不能丢弃了，那怎么办呢？上取整即可。
此时小于上取整的结果，等价于小于等于下取整的结果。

正确代码

如果我们 \(n\) 除 \(k\) 时希望上取整，将 \(n\) 加上 \(k-1\) 即可。

void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i < n; i ++ )
    {
        if(!st[i])  primes[idx ++ ] = i;
        for(int j = 0; primes[j] < (N + i - 1) / i ; j ++ )  // (1) 防溢出 + 上取整
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if(i % primes[j] == 0)  break;
        }
    }
}

或者说，在判断时不要用小于，而是小于等于。

void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++ )    // (1) <=
    {
        if(!st[i])  primes[idx ++ ] = i;
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i ; j ++ )  // (2) <=
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if(i % primes[j] == 0)  break;
        }
    }
}