线段树
线段树当中的几个重要操作
1.PushUp
上推操作：由子节点算父节点的信息
\(push up\) 操作的目的是为了维护父子节点之间的逻辑关系。当我们递归建树时，对于每一个节点我们都需要遍历一遍，并且电脑中的递归实际意义是先向底层递归，然后从底层向上回溯，所以开始递归之后必然是先去整合子节点的信息，再向它们的祖先回溯整合之后的信息。
我们在这儿就能看出来，实际上push_up是在合并两个子节点的信息，所以需要信息满足结合律！
2.PushDown
下沉操作，又称为懒标记或延迟标记：由父节点计算子节点的信息
之所以称为懒标记，是因为当我们在修改一个区间的信息的时候，我们不会把这个区间和它的所有子区间全都修改，而是在根节点的区间上标记一下（这就需要一个额外的信息 \(add\) 来储存我们的修改信息），在用到该区间的时候才进行修改。即延迟修改。
例如我们要修改区间 \([1, 10]\)，我们无须把它的子区间 \([1, 5]\) 和 \([6, 10]\) 以及 \([1, 5]\) 和 \([6, 10]\) 的子区间全部递归修改一番直到修改到叶子节点然后逐层回溯，这样操作的时间复杂度是可以高达 \(O(NlogN)\) 的。
我们可以直接在区间 \([1, 10]\) 标记一下，表示我们修改了这个区间了，但是我们不对他的子区间进行操作，直到某一次查询或者修改需要使用这个区间的时候，我们才修改这个区间并把它的修改下沉到子区间。
不过我的习惯是，当我们需要标记一个区间的时候，直接就把此区间修改了。
总而言之，懒标记的作用是记录每次、每个节点要更新的值，也就是delta,但线段树的优点不在于全记录（全记录依然很慢qwq），而在于传递式记录：
整个区间都被操作，记录在公共祖先节点上；只修改了一部分，那么就记录在这部分的公共祖先上；
3.Build
将一段区间初始化为线段树
4.Modify
- 单点（\(PushUp\)）
- 区间（\(PushDown\) + \(Pushup\)）
5.Query
时间复杂度：\(O(4 \times logN)\)
查询某一段区间的信息
6.与树状数组的比较
线段树的常数比树状数组
线段树的 \(logn\) 是 \(4\) 倍的 \(logn\)
树状数组的 \(logn\) 是 \(1\) 倍的 \(logn\)
线段树点修改和区间查询的时间复杂度为
7.\(up\)和\(down\)操作的使用时机
主要是从定义出发
(1)\(pushup\)
\(pushup\) 的定义是通过合并子节点的信息并上传修改根节点的信息，只要修改子节点的信息，就要在回溯的过程中修改父节点的信息。
因此，\(pushup\) 一般是在代码的末尾出现，只有子节点都修改完成之后，才可以吧子节点的信息合并推到父节点上。
例如：
(1)建树的过程中，如果区间可以继续划分，那么我们就要递归该根节点的左右区间，当递归左右区间结束的时候，就要 \(pushup\) 合并返回子节点的信息。
(2)修改区间信息，如果我们修改的区间不能在当前区间直接完成修改，而是要在它的左右区间分别修改一部分，例如区间 \([1, 10]\)，我们要修改 \([4, 7]\) ,就需要分别修改它的左子树区间 \([1, 5]\) 和右子树区间 \([6, 10]\)。并在修改结束的时候 \(pushup\) 合并子节点的修改信息返回到父节点。
(2)\(pushdown\)
\(pushdown\)的定义是下沉父节点的修改信息到子节点，只要父节点的信息被修改，就要下沉父节点的修改信息到子节点上。
因此， \(pushdown\) 一般在代码的头出现，否则此时子节点的信息未被修改，或者说出现修改重叠的情况。
并且，使用 \(pushdown\) 的时候一般都是在区间分裂的时候使用的。即，我们不能在当前区间直接完成操作，需要分别在它的左区间或者右区间或者两个子区间进行操作。而由于我们使用了懒标记，只修改了根区间的信息，它的子区间还未修改，所以说我们要把它的修改信息下沉到子区间并修改和标记子区间。
例如：
(1)执行查询操作，此时我们得到区间的一些信息，当然要把还未执行的操作执行一下。
(2)执行修改操作，这个不太好理解，虽然说我们的修改操作也可能会使用到两个子区间的信息，但我们只是对区间加上一个懒标记，为什么还要把根区间的懒标记下沉呢？这是因为我们上面的 pushup 会出现在修改操作里，如果懒标记没有下传就会导致子节点的值没有第一时间更新，父节点就会被错误的更新。
再举个例子解释一下第(2)点：
- 初始化区间 \([1, 10]\) 所有元素全为 \(1\)，建树，维护两个信息：\(lazyTag\) 和 区间和 \(sum\)
- 执行修改操作 \([1, 10]\) 的每个元素都加上 \(2\)，此时区间元素全为3。我们的懒标记修改了区间 \([1, 10]\) 的 \(sum\)，\(sum[1, 10] = 30\)，但此时区间 \([1, 5], [6, 10], ... ,[9, 9],[10, 10]\)的值依然是初始状态下的值。 最后 \(pushup\) (由于 \([1, 10]\) 为整个树的根节点，所以此时 \(pushup\) 啥都没做)。
- 再次执行修改操纵 \([1, 5]\) 的每个元素都加上 \(1\)（不执行 \(pushdown\)），紧接着由于 \([1, 5]\) 无法包含当前区间 \([1, 10]\) ，分裂区间为 \([1, 5], [6, 10]\), 递归到左区间 \([1, 5]\)，此时正好包含该区间，修改区间 \([1, 5]\) 的值为 \(10\)，然后 \(pushup\) 该区间的修改信息到父区间 \([1, 10]\), \(sum[1, 10] = sum[1, 5] + sum[6, 10] = 10 + 5 = 15\),然后回溯到父区间 \([1, 10]\)，执行 \(pushup\)(由于是树根不执行)，结束。
- 最后我们发现第二次操作 \(sum[1, 10] = 15\)，甚至比第一次操作的 \(sum\) 更小了，究其原因在于第一次操作给区间 \([1, 10]\) 打上的懒标记没有在第二次操作下沉到子区间，导致子区间实际上没有执行第一次修改操作。
- 如果我们在分裂区间之前执行 \(pushdown\)，那么此时有 \(sum[1, 5] = 15, sum[6, 10] = 15\)，然后执行第二次修改操作 \(sum[1, 5] = 15 + 5 = 20\)，最后合并区间 \([1, 5], [6, 10]\) 的和上传到区间 \([1, 10]\)，此时 \(sum[1, 10] = 20 + 15 = 35\) 就正确了
8.常见的SE错误来源
- 数组空间没有开四倍
- \(mid = l + r >> 1\) 还是 \(mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1\)
- \(u << 1\) 或者 \(u << 1|1\) 是否写错
- \(build\) 里面 \(else\) 循环中，是否初始化 \(tr[u] =\{l, r... \}\)
