前缀和推式子 + 尺取（双指针）

4395. 最大子矩阵 - AcWing题库

 在做这道题的时候，我陷入一个误区，那就是以为必须在矩阵c里面找最大值，但那样的话最好的时间复杂度是O（N^2*log(N^2)），大约8KW，肯定TLE

其实我们好好研究一下这个矩阵元素的组成

 我们其实可以发现，这个子矩阵[a1,b1]~[a2,b2]范围内数字的总和，就等于：

a[l] * (b[l] + b[l+1] + .... + b[r]) + 
a[l + 1] * (b[l] + b[l+1] + .... + b[r]) + 
....... +
a[r] * (b[l] + b[l+1] + .... + b[r])

= (a[l] + a[l+1] + .... + a[r]) * (b[l] + b[l+1] + .... + b[r])

= (sa[r] - sa[l - 1]) * (sb[r] - sb[l - 1]) = sa[l,r] * sb[l,r]

并且，这个区间包含的数字个数等于 = (ar - al + 1) * (br - bl + 1) = lena * lenb

#sa，sb表示前缀和，len表示长度

现在我们已经初步的把问题转化成了求在数组a里面找一个区间，在数组b里面找一个区间，使得这两个区间前缀和的乘积不大于x，并且这两个区间长度的乘积最大

那我们现在贪心的想，如果要满足上面的条件，我们肯定希望，在长度相同的时候，我们选择乘积最小的那个区间，这样就可以使另一个区间的长度更大。

那么，我们可以预处理一下a和b数组在len=1,2，....，条件下的最小前缀和

然后，我们以此枚举a区间的长度，去找满足条件的b区间长度的最大值，注意，这里不需要用到双重循环，因为在上面我们预处理完成之后，假如对于b数组得到的新的数组lenb[i]，表示长度为 i 的的最小区间，那么，lenb[i+1]>lenb[i]，lenb数组是单调递增的！这一点可以由数据范围ai,bi>=1证明得到。

所以，在枚举a区间的长度的时候，我们可以二分查找符合条件的b区间，也可以使用尺取法（我感觉就是双指针算法）。

这里再解释一下尺取法：初始时由于我们枚举的是a的区间长度，所以我们让Lena = 1，同时让Lenb = m，让b等于最大的区间长度，之所以让b从最大区间长度倒着枚举，是因为随着a的区间长度的增加，b的区间长度是不可能增大的！

假如之前Lena=3、Lenb=2，那么当Lena=4时，Lenb<=2必然成立，因为对于Lena=3时，Lenb都取不到3，现在Lena增大，又由上面推导，区间长度越大，值就越大，所以b的长度必然减小，或者不变。

因此，我们让就可以让Lenb初始时等于最大长度m，整个过程中Lenb只会减小，不会增加，也就是只会向左走。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2010, INF = 1e9;

int n, m, x;
int a[N], b[N], s1[N], s2[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> s1[i];
        s1[i] += s1[i - 1];
    }
    for(int i = 1; i <= m; i ++ )
    {
        cin >> s2[i];
        s2[i] += s2[i - 1];
    }
    
    for(int len = 1; len <= n; len ++ )
    {
        a[len] = INF;
        for(int l = 1; l + len - 1 <= n; l ++ )
        {
            int r = l + len - 1;
            a[len] = min(a[len], s1[r] - s1[l - 1]);
        }
    }
    

    for(int len = 1; len <= m; len ++ )
    {
        b[len] = INF;
        for(int l = 1; l + len - 1 <= m; l ++ )
        {
            int r = l + len - 1;
            b[len] = min(b[len], s2[r] - s2[l - 1]);
        }
    }
    
    // for(int i = 1; i <= n; i ++ )   cout << a[i] << " ";
    // cout << endl;
    // for(int j = 1; j <= m; j ++ )   cout << b[j] << " ";
    // cout << endl;
    
    cin >> x;
    
    int res = -1;
    for(int i = 1, j = m; i <= n; i ++ )
    {
        while(j && a[i] > x / b[j]) j -- ;
        res = max(res, i * j);
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}