洋灰三角（矩阵快速幂的两种解法）

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来源：牛客网

  洋灰是一种建筑材料，常用来筑桥搭建高层建筑，又称，水泥、混凝土。

    WHZ有很多铸造成三角形的洋灰块，他想把这些洋灰三角按照一定的规律放到摆成一排的n个格子里，其中第i个格子放入的洋灰三角数量是前一个格子的k倍再多p个，特殊地，第一个格子里放1个。
    WHZ想知道把这n个格子铺满需要多少洋灰三角。

题意：就是求　　a_n=k*a_n-1+p的前n项和。

 

 

第一种：  s_n=s_n-1+k*a_n-1+p；

推出的矩阵如下：

 

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define mod int(1e9+7)
ll k, p;
struct jz
{
    ll num[3][3];
    jz(){ memset(num, 0, sizeof(num)); }
    jz operator*(const jz &p)
    {
        jz ans;
        for (int k = 0; k < 3;++k)
        for (int i = 0; i < 3;++i)
        for (int j = 0; j < 3; ++j)
            ans.num[i][j] = (ans.num[i][j] + num[i][k] * p.num[k][j] % mod) % mod;
        return ans;
    }
}pp;
jz POW(jz x, ll n)
{
    jz ans;
    for (int i = 0; i < 3; i++) ans.num[i][j] = 1;
    for (; n; n>>=1, x=x*x)
    if (n & 1)ans = ans*x;
    return ans;
}
void init()
{
    pp.num[0][0] = 1; pp.num[0][1] = k; pp.num[0][2] = 1;
    pp.num[1][1] = k; pp.num[1][2] = 1; pp.num[2][2] = 1;
}
int main()
{
    ll n;
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &p);
    ll s2 = 1 + k + p;
    if (n == 1){ printf("1\n"); return 0; }
    else if (n == 2){ printf("%lld\n", s2); return 0; }
    init();
    pp = POW(pp, n - 2);
    printf("%lld", (pp.num[0][0] + pp.num[0][1] + (p*pp.num[0][2])%mod) % mod);
    return 0;
}

方法二：

s_n=(k+1)s_n-1-ks_n-2+q

注意：在矩阵中负数要  -k <=> mod-k; 还有：已经使用了上面的公式，意味着s_n是新的数列，注意把s1和s2求好。仔细一些

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define mod int(1e9+7)
ll p, k;
struct jz
{
    long long num[3][3];
    jz() { memset(num, 0, sizeof(num)); }
    jz operator*(const jz &P)const
    {
        jz ans;
        for (int k = 0; k<3; k++)
        for (int i = 0; i<3; i++)
        for (int j = 0; j<3; j++)
            ans.num[i][j] = (ans.num[i][j] + num[i][k] * P.num[k][j] % mod) % mod;
        return ans;
    }
}pp;
jz pOw(jz X, long long m)
{
    jz ans;
    for (int i = 0; i < 3; ++i)ans.num[i][i] = 1;
    for (; m; m >>= 1, X = X*X)
    if (m & 1)ans = ans*X;
    return ans;
}
void init()
{
    pp.num[0][0] = k + 1; pp.num[0][1] = mod-k; pp.num[0][2] = p;
    pp.num[1][0] = 1; pp.num[2][2] = 1;
}
int main()
{
    ll n;
    scanf("%lld%lld%lld", &n, &k, &p);
    init();
    ll s1 = 1, s2 = k + p+1;
    if (n == 2){ printf("%lld\n", s2); return 0; }
    else if (n == 1){ printf("%lld\n", 1); return 0; }
    pp = pOw(pp, n - 2);
    printf("%lld\n", (((s2%mod)*pp.num[0][0])%mod + pp.num[0][1] + pp.num[0][2]) % mod);
    return 0;
}