浅谈树状数组与线段树

树状数组和线段树都是用于维护数列信息的数据结构，支持单点/区间修改，单点/区间询问信息。以增加权值与询问区间权值和为例，其余的信息需要维护也都类似。时间复杂度均为\(O(logn)\)。

树状数组

对于树状数组，编号为\(x\)的结点上统计着[\(x-lowbit(x)+1,x\)]这一段区间的信息，\(x\)的父亲就是\(x+lowbit(x)\)。

如果不知道\(lowbit\)是啥的话可以去看看这个：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9698694.html

画出来就长这样：

假设我们要维护的区间是\(A\)数组，那么\(C\)数组就是树状数组里存的东西。每个结点掌管的区间都是[\(x-lowbit(x)+1,x\)]。

单点修改区间查询

假设我们要令\(A_x\)增加\(v\)，那么\(x\)以及\(x\)的所有祖先全部都需要增加\(v\)，因为这些结点的统计区间全部都覆盖了\(x\)这个位置，而其他结点没有。

假设我们要询问区间[\(l,r\)]的权值和，我们可以转化为前缀和相减，也就是\(sum[r]-sum[l-1]\)。

假设我们要求\(sum[x]\)，那么我们只需要每次加上当前结点\(x\)的权值，然后令\(x\)等于\(x-lowbit(x)\)，直到\(x\)为1时停下来。因为\(x\)统计的是区间[\(x-lowbit(x)+1,x\)]的信息，所以前缀和就由若干个这样的区间组成，每次令\(x-=lowbit(x)\)就相当于去访问前面一个区间了。由于\(lowbit\)与\(x\)的二进制最低位的\(1\)有关，所以复杂度是\(O(logn)\)的。

代码如下:

#define low(i) ((i)&(-i))

void add(int pos,int v) {
    for(int i=pos;i<=n;i+=low(i))
        c[i]+=v;//单点修改
}

int query(int pos) {
    int res=0;
    for(int i=pos;i;i-=low(i))
        res+=c[i];
    return res;//询问区间[1,pos]的权值和
}

区间修改单点询问

这个要利用差分的思想就行了。每次在数组的\(l\)处加\(v\)，\(r+1\)处减\(v\)，然后一个数的权值就是\([1,x]\)的差分和。

代码如下：

#define low(i) ((i)&(-i))

int l=read(),r=read(),v=read();
add(l,v);add(r+1,-v);
int pos=read();
printf("%d\n",query(pos));//add与query函数见单点修改区间询问

区间修改区间询问

假设\(a\)是差分数组，那么前缀权值和就是\(a\)的前缀和的前缀和，也就是：

\[\sum\limits_{i=1}^{x}\sum\limits_{j=1}^{i}a[j] \]

化开就是：

\(\sum\limits_{i=1}^{x}(x-i+1)a[i]=(x+1)\sum\limits_{i=1}^{x}a[i]-\sum\limits_{i=1}^{x}i*a[i]\)

同单点修改，我们只需要开两个树状数组，一个维护\(a[i]\)，一个维护\(i*a[i]\)就行了。

代码如下：

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define low(i) ((i)&(-i))

const int maxn=1e5+5;

int n,m;
ll a[maxn],sum[maxn];

ll read() {
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
	return x*f;
}

struct TreeArray {
	ll c[maxn];

	void add(int pos,ll v) {
		for(int i=pos;i<=n;i+=low(i))
			c[i]+=v;
	}
	
	ll query(int pos) {
		ll res=0;
		for(int i=pos;i;i-=low(i))
			res+=c[i];
		return res;
	}
}T1,T2;//T1维护a[i]的前缀和，T2维护i*a[i]的前缀和

int main() {
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int opt=read(),l=read(),r=read();
		if(opt==1) {//区间加
			ll k=read();
			T1.add(l,k);T1.add(r+1,-k);
			T2.add(l,l*k);T2.add(r+1,-(r+1)*k);
		}
		else {//区间查询
			ll ans=sum[r]-sum[l-1];
			ans+=(r+1)*T1.query(r)-T2.query(r);
			ans-=l*T1.query(l-1)-T2.query(l-1);
			printf("%lld\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}

线段树

线段树是基于分治思想的数据结构，功能比树状数组更强大，长这样：

对于一个节点\(p\)，如果他统计的区间是[\(l,r\)]，\(mid=(l+r)/2\)，那么他左儿子统计的区间就是\([l,mid]\)，右儿子是\([mid+1,r]\)。对于某些节点统计的区间是\([x,x]\)，那么就直接是单点的信息，每个点的信息可以由子节点合并更新。因为线段树是一颗二叉树，所以我们可以用\(p*2\)来记录\(p\)的左儿子，\(p*2+1\)记录右儿子。这样子的话，因为最后一层可能前面全部空出来，单出一个区间[\(n,n\)]在这一层的最后面，所以空间要开到\(4*n\)才不会段错误。

单点修改

直接从根开始，以覆盖\(x\)这个位置的区间为路径，将一条链上的节点全部更新。复杂度是\(O(logn)\)的。

代码如下：

void updata(int p) {
    tree[p]=tree[p<<1]+tree[p<<1|1];
}

void change(int p,int l,int r,int pos,int v) {//更新p号节点，p号节点统计了[l,r]的信息，我要把pos位置的值增加v
    if(l==r) {
        tree[p]+=v;
        return;
	}//此时到一条链的最底部了就return
    int mid=(l+r)>>1;
    if(pos<=mid)change(p<<1,l,mid,pos,v);
    else change(p<<1|1,mid+1,r,pos,v);//选择覆盖pos的路径递归
    updata(p);//更新p节点的信息
}

//更改的时候调用change(1,1,n,x,v)就行了。

区间查询

假如当前区间被我需要访问的区间全部覆盖了，那么直接返回当前区间的权值和就行了。如果不是，再分情况讨论，分别去递归询问左儿子右儿子，再合并起来。显然，我会访问的节点全部是包含\(l\)与\(r\)的，不包含的话会在一开始就返回统计的权值，不会进行递归，所以复杂度也是\(O(logn)\)的。

代码如下：

int query(int p,int l,int r,int L,int R) {
    if(L<=l&&r<=R)return tree[p];//如果当前区间是询问区间子区间就直接返回统计信息
    int mid=(l+r)>>1,res=0;
    if(L<=mid)res+=query(p<<1,l,mid,L,R);//如果L<=mid就返回[L,mid]的和
    if(R>mid)res+=query(p<<1|1,mid+1,r,L,R);//如果R>mid就返回[mid+1,R]的和
    return res;
}

延迟标记与区间修改

对于区间修改，如果我们一个一个值的去改的话，还不如\(n^2\)暴力统计信息的算法。所以就有了延迟标记这种东西。如果一个节点上面有延迟标记，就表示这个节点已经被修改过了，但是这个节点的子节点还没有被修改过，如果要进行递归必须要把延迟标记的影响一起带下去，然后把当前结点的延迟标记清空。对于一个区间[\(l,r\)]，如果是我要修改的区间的子区间，那么我就直接把当前节点\(p\)的统计信息更新掉，然后打上延迟标记，就不进行递归一个一个改了。根据区间查询的复杂度，区间修改也只会在包含\(l\)与\(r\)的路径上进行递归，复杂度是\(O(logn)\)的。

代码如下：

void updata(int p) {
    tree[p]=tree[p<<1]+tree[p<<1|1];
}

void add_tag(int p,int l,int r,int v) {
    tree[p]+=(r-l+1)*v;tag[p]+=v;//标记只对儿子有影响，自己在打标记的同时一起把统计信息更改了。
}

void push_down(int p,int l,int r) {
    int mid=(l+r)>>1;
    add_tag(p<<1,l,mid,tag[p]);
    add_tag(p<<1|1,mid+1,r,tag[p]);
    tag[p]=0;//把当前标记分别传给两个儿子然后清空
}

void change(int p,int l,int r,int L,int R,int v) {//[l,r]为当前区间,[L,R]为要修改的区间
    if(L<=l&&r<=R) {
        add_tag(p,l,r,v);//打标记
        return;
	}
    int mid=(l+r)>>1;push_down(p,l,r);//下传标记
    if(L<=mid)change(p<<1,l,mid,L,R,v);
    if(R>mid)change(p<<1|1,mid+1,r,L,R,v);//递归更改
    updata(p);//更新当前结点的信息
}