浅谈二分

太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，阴阳交媾万物生。

若要你在全校同学当中猜我心里想的那个人，允许你问若干个问题，使问问题次数尽量少，你肯定会问我那个人是男生还是女生。因为这样，可以筛掉一半的人。并且在数学期望上来说，你肯定会尽量问一些能筛掉一半的问题，将问题的答案集合一分为二。假设你直接问是不是***，我说不是的话，你这个问题就问得十分无力了，因为它只帮你排除了一个人。所以，每次问可以筛掉一半备选集合的问题，显然是一种很聪明的做法。

世间万物始于混沌，根据太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，我们可以很快将万事万物分为八类，并且都相对均衡，这种古老的大智慧，在很久很久以前就被古人所运用了。

在\(OI\)界，这就叫二分。一分为二，天地初开。

对于一个包含了最终解的集合，若我们能通过一次判断将其一分为二，将最终解的范围缩小一半，那么这就是二分。就比如，假如整数范围\([l,r]\)是解集范围，并且这个解具有单调性（不存在\(i\)是解但是\(j\)不是解且\(j>i\)），那么只要\(mid=(l+r)/2\)是解，\([mid+1,r]\)就都是解集，我们再去\([l,mid-1]\)里找更加小的解。因为满足单调性，二分多用于解决“最大值最小”或者“最小值最大”的问题。我要求某个问题的答案最大值最小的那一个，说明只要大于等于这个答案的都是问题的解，不过不是最小的。最小值最大同理。

至于二分的写法，网上千千万，我个人偏爱一下这一种：

int l=mn,r=mx;
while(l<r) {
    int mid=(l+r+1)>>1;//这里mid=(l+r+1)>>1是因为方式r=l+1卡死
    if(check(mid))l=mid;
    else r=mid-1;
}
printf("%d\n",l);
//最小值最大

int l=mn,r=mx;
while(l<r) {
    int mid=(l+r)>>1;
    if(check(mid))r=mid;
    else l=mid+1;
}
printf("%d\n",l);
//最大值最小

在二分的时候我们只要知道答案始终会在哪个区间，并且知道怎么去取那个区间的极值以及怎么缩小区间就行。

然后实数二分的话只要设置一个\(eps\)判一判就行了：

double l=mn,r=mx;
while(l+eps<r) {
    double mid=(l+r)/2;
    if(check(mid))r=mid;
    else l=mid;
}
printf("%lf\n",l);

以上就是二分的板子了。至于怎么去二分和怎么去\(check\)，那就得根据实际题目实际设定了。