BZOJ3680：吊打XXX

我对模拟退火的理解：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9580982.html

我对爬山的理解：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9555215.html

题目传送门：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3680

模拟退火在计算几何方面有很大的用处，特别是求费马点一类的问题。

作为一个文化课很渣的人我就没办法详细地告诉你这道题怎么从物理题转移成信息学题目了。但是灵性的理解一下，题目意思就是要你找平面上的广义费马点。

所谓费马点，就是在一个\(n\)边形内，这个点如果到\(n\)个顶点距离和最小，那么它就是这个\(n\)边形的费马点。

然后广义费马点就是顶点上带权的费马点，统计的时候距离要乘上这个权值再加起来。

我们灵性的脑补一波就可以发现，这个题目显然不存在局部最优解，所以我们可以大胆爬山。

然后我们再灵性的想一想：首先我们可以把初始点定在\(n\)个点的中心位置，这样可以减少转移次数。再者，一个绳结如果不在最终目标点的话，那么它肯定有往最终目标点移动的趋势。所以我们在温度很高的时候，绳结坐标的跳动距离就设置大一点，就先向趋势所在的方向跳。慢慢的温度低了，我们就跳小一点的步子，慢慢稳定下来，这样子最后甚至可以准确的命中正确答案！

然后因为这个性质，爬山算法就比模拟退火在这道题上优秀得多了。爬山算法可以直接在\(BZOJ\)上\(AC\)，但是模拟退火不行。

毕竟没有局部最优解你还接受更加差的状态就显得很智障了……

时间复杂度：\(O(能A)\)

空间复杂度：\(O(能A)\)

爬山算法\(AC\)代码如下：

#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
#define sqr(a) ((a)*(a))
 
const int maxn=1e4+5;
 
int n;
double ansx,ansy,ans=1e18;//ans记录最小权值，ansx记录历史最优节点的x，ansy记录历史最优节点的y
 
struct gty {
    double x,y,w;//x，y存坐标，w存重量
}point[maxn];
 
double len() {
    double x=rand()%200000-100000;
    return x/100000;
}//随机一个-100000~100000之间的长度
 
double dis(double x1,double y1,double x2,double y2) {
    return sqrt(sqr(x1-x2)+sqr(y1-y2));
}//求(x1,y1)，(x2,y2)两点之间的距离
 
double calc(double x,double y) {//计算以点(x,y)为绳结时候的权值
    double tmp=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        tmp+=dis(x,y,point[i].x,point[i].y)*point[i].w;//直接暴力算
    if(tmp<ans) {ans=tmp;ansx=x,ansy=y;}//如果权值比历史最优更小，那么就更新历史最优
    return tmp;//返回权值
}
 
int main() {
    srand(time(0));
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%lf%lf%lf",&point[i].x,&point[i].y,&point[i].w);
        ansx+=point[i].x;ansy+=point[i].y;
    }ansx/=n;ansy/=n;double now_x=ansx,now_y=ansy;//读入以及初始化
    for(double T=10000;T>=1e-5;T*=0.98) {//爬山使用退火的降温机制似乎可以更灵性！
        double nxt_x=now_x+len()*T,nxt_y=now_y+len()*T;//爬山，每次跳len*T那么长，那么随着温度慢慢降低也会趋向稳定
        if(calc(now_x,now_y)>calc(nxt_x,nxt_y))
            now_x=nxt_x,now_y=nxt_y;//如果这个方向是绳结移动的趋势方向那么就直接跳过去
    }
    printf("%.3lf %.3lf\n",ansx,ansy);//输出
    return 0;
}

模拟退火不能\(AC\)代码如下：

#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define sqr(a) ((a)*(a))

const int maxn=1e4+5;
const double T_0=1e-5;
const double del_T=0.98;

int n;
double ansx,ansy,ans=1e18;

struct gty {
	double x,y,w;
}point[maxn];

double dis(double x1,double y1,double x2,double y2) {
	return sqrt(sqr(x1-x2)+sqr(y1-y2));
}

double calc(double x,double y) {
	double tmp=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		tmp+=dis(x,y,point[i].x,point[i].y)*point[i].w;
	if(tmp<ans) {ans=tmp;ansx=x,ansy=y;}
	return tmp;
}

double len() {
	double x=rand()%200000-100000;
	return x/100000;
}

void Anneal() {
	double T=1e4,now_x=ansx,now_y=ansy;
	while(T>=T_0) {
		double nxt_x=now_x+len()*T;
		double nxt_y=now_y+len()*T;
		double tmp1=calc(now_x,now_y);
		double tmp2=calc(nxt_x,nxt_y);
		if(tmp2<tmp1||exp((tmp1-tmp2)/T)*RAND_MAX>rand())//除了这里和爬山算法是一模一样的。这里加了一个模拟退火特有的“接受不优于当前状态的状态”的概率
			now_x=nxt_x,now_y=nxt_y;
		T*=del_T;
	}
}

int main() {
	srand(time(0));
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%lf%lf%lf",&point[i].x,&point[i].y,&point[i].w);
		ansx+=point[i].x,ansy+=point[i].y;
	}ansx/=n,ansy/=n;
	for(int i=1;i<=54;i++)Anneal();
	printf("%.3lf %.3lf\n",ansx,ansy);
	return 0;
}