浅谈左偏树

可并堆

可并堆顾名思义就是可以合并的堆。

这里不讲二项堆和斐波那契堆，只讲左偏树。

左偏树

左偏树顾名思义就是向左偏的树。

给每个点定义一个\(dist\)，满足下面三个条件：

1、空结点的\(dist\)等于\(-1\)

2、每个结点的左儿子的\(dist\)都大于右儿子的\(dist\)

3、每个结点的\(dist\)都等于右儿子的\(dist+1\)

根据上面这些性质，我们可以推出左偏树中根结点的\(dist\)最大不超过\(logsize\)。

合并

左偏树合并非常简单，假设我要合并\(a,b\)两颗树并且\(val_a<val_b\)（为了满足小根堆性质，不满足就交换\(a,b\)）

如果\(a\)或\(b\)为空返回另一个结点

否则合并\(a\)的右儿子和\(b\)，如果这个时候右儿子的\(dist\)大于左儿子的\(dist\)就交换\(a\)的左右儿子，更新\(a\)的\(dist\)然后返回\(a\)。

由于每一层递归的\(dist_a+dist_b\)都会比上一层小\(1\)，最小可以到\(-1\)，所以时间复杂度是\(O(logsize_a+logsize_b)\)的。

模板题传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3377

时间复杂度：\(O(mlogn)\)

空间复杂度：\(O(n)\)

代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1e5+5;

int n,m;
int son[maxn][2];
int v[maxn],fa[maxn],dist[maxn];

int read() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

int find(int x) {
    while(fa[x])x=fa[x];
    return x;//由于树型结构会改变所以不敢路径压缩
}

int merge(int a,int b) {
    if(!a||!b)return a+b;
    if(v[a]>v[b])swap(a,b);
    son[a][1]=merge(son[a][1],b);
    fa[son[a][1]]=a;
    if(dist[son[a][1]]>dist[son[a][0]])
        swap(son[a][1],son[a][0]);
    dist[a]=dist[son[a][1]]+1;
    return a;
}

void pop(int u) {
    printf("%d\n",v[u]);v[u]=-1;
    fa[son[u][0]]=fa[son[u][1]]=0;
    merge(son[u][0],son[u][1]);
    son[u][0]=son[u][1]=0;
}

int main() {
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        v[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int opt=read();
        if(opt==1) {
            int x=read(),y=read();
            if(v[x]==-1||v[y]==-1)continue;
            x=find(x),y=find(y);
            if(x==y)continue;
            merge(x,y);
        }
        else {
            int u=read();
            if(v[u]==-1) {puts("-1");continue;}
            u=find(u),pop(u);
        }
    }
    return 0;
}