SPOJ1825：Free Tour II
浅谈树分治：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/10014803.html
题目传送门：https://www.spoj.com/problems/FTOUR2/
我们设\(f_i\)表示只经过\(i\)个黑点的路径的最长距离。从目前的根到当前点的路径上黑点个数为\(cnt\)，路径长度为\(dis\)，那么我就可以用\(dis+max\){\(f_i|i+cnt\leqslant k\)}来更新答案。我们依次“询问当前的根的子树去更新答案，然后遍历这棵子树去更新\(f\)”，这样可以保证更新答案的两条路径肯定不在同一个子树内。
对于边分，我们只需要遍历一个块更新\(f\)数组，然后前缀最大值一下，遍历另外一个块去询问即可。
但是对于点分，这样显然不行，因为一个点删掉之后可能会有很多个块，每个块每次更新完之后都前缀最大值一次可以到\(n^2\)的复杂度，显然直接爆炸了。
因为我们要支持动态更改\(f\)数组，还要支持动态访问前缀最大值，所以我们可以用树状数组来维护\(f\)数组，这样子复杂度是\(O(nlog^2n)\)的，因为多次遍历和树状数组的清空，常数很大，亲测\(TLE\)。
我们令\(dep_i\)表示\(i\)号子树内黑点个数最多的链（起点必须是当前的根）上有多少个黑点，然后把子树按照\(dep\)排序，从小到大依次去执行上述操作，这样子是\(O(n)\)的。前缀最大值的更新复杂度为\(\sum\limits_{v\in son[u]}dep_v\)。因为黑点个数肯定小于总点数，所以这样子更新前缀最大值也是\(O(n)\)的。至于按照\(dep\)去排序儿子，每个儿子顶多会被排序\(degree\)次，总数不会超过边数，也是\(nlogn\)的，所以复杂度就被降为\(O(nlogn)\)了。
时间复杂度：\(O(nlogn)\)
空间复杂度：\(O(n)\)
点分治版代码如下：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+5,inf=2e9+10;
int siz[maxn],f[maxn];
bool black[maxn],vis[maxn];
int n,k,m,tot,ans=0,N,rt,mx;
int now[maxn],pre[maxn*2],son[maxn*2],val[maxn*2];
int read() {
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
return x*f;
}
struct SON {
int node,dep,val;
SON() {}
SON(int _node,int _dep,int _val) {
node=_node,dep=_dep,val=_val;
}
bool operator<(const SON &a)const {
return dep<a.dep;
}
}to[maxn];
void add(int a,int b,int c) {
pre[++tot]=now[a];
now[a]=tot,son[tot]=b,val[tot]=c;
}
void find_rt(int fa,int u) {
int res=0;siz[u]=1;
for(int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p])
if(!vis[v]&&v!=fa)find_rt(u,v),siz[u]+=siz[v],res=max(res,siz[v]);
res=max(res,N-siz[u]);
if(res<mx)mx=res,rt=u;
}
int dfs(int fa,int u,int cnt) {
int res=cnt;siz[u]=1;
for(int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p])
if(!vis[v]&&v!=fa)res=max(res,dfs(u,v,cnt+black[v])),siz[u]+=siz[v];
return res;
}
void query(int fa,int u,int dis,int cnt) {
if(cnt>k)return;
ans=max(ans,dis+f[min(mx,k-cnt)]);
for(int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p])
if(!vis[v]&&v!=fa)query(u,v,dis+val[p],cnt+black[v]);
}
void solve(int fa,int u,int dis,int cnt) {
if(cnt>k)return;
f[cnt]=max(f[cnt],dis);
for(int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p])
if(!vis[v]&&v!=fa)solve(u,v,dis+val[p],cnt+black[v]);
}
void work(int u,int size) {
N=size,mx=rt=n+1,find_rt(0,u);
u=rt,vis[u]=1,tot=0;
for(int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p])
if(!vis[v])to[++tot]=SON(v,dfs(u,v,black[u]+black[v]),val[p]);
sort(to+1,to+tot+1);mx=to[tot].dep;
for(int i=0;i<=mx;i++)f[i]=-inf;
for(int i=1;i<=tot;i++) {
query(u,to[i].node,to[i].val,black[to[i].node]);
solve(u,to[i].node,to[i].val,black[u]+black[to[i].node]);
mx=to[i].dep;mx=min(mx,k);
for(int j=1;j<=mx;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-1]);
}
for(int i=0;i<=mx;i++)ans=max(ans,f[i]);
for(int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p])
if(!vis[v])work(v,siz[v]);
}
int main() {
n=read(),k=read(),m=read();
for(int i=1;i<=m;i++) {
int u=read();
black[u]=1;
}
for(int i=1;i<n;i++) {
int x=read(),y=read(),v=read();
add(x,y,v),add(y,x,v);
}
work(1,n),printf("%d\n",ans);
return 0;
}
边分治版代码如下：
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
#define fr first
#define sc second
const int maxn=4e5+5,inf=2e9+10;
int siz[maxn],f[maxn];
bool vis[maxn],black[maxn];
int n,k,m,tot,ans,cnt,mx,id,N,len;
int now[maxn],pre[maxn*2],son[maxn*2],val[maxn*2];
vector<pii>to[maxn];
vector<pii>::iterator it;
int read() {
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
return x*f;
}
void add(int a,int b,int c) {
pre[++tot]=now[a];
now[a]=tot,son[tot]=b,val[tot]=c;
}
void find_son(int fa,int u) {
for(int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p])
if(v!=fa)to[u].push_back(make_pair(v,val[p])),find_son(u,v);
}
void rebuild() {
tot=1;memset(now,0,sizeof(now));
for(int i=1;i<=cnt;i++) {
int size=to[i].size();
if(size<=2) {
for(it=to[i].begin();it!=to[i].end();it++) {
pii tmp=*it;
add(i,tmp.fr,tmp.sc),add(tmp.fr,i,tmp.sc);
}
}
else {
pii u1=make_pair(++cnt,0),u2;
if(size==3)u2=to[i].front();
else u2=make_pair(++cnt,0);
add(i,u1.fr,u1.sc),add(u1.fr,i,u1.sc);
add(i,u2.fr,u2.sc),add(u2.fr,i,u2.sc);
if(size==3) {
for(int j=1;j<=2;j++)
to[cnt].push_back(to[i].back()),to[i].pop_back();
}
else {
int p=0;
for(it=to[i].begin();it!=to[i].end();it++) {
if(!p)to[cnt].push_back(*it);
else to[cnt-1].push_back(*it);p^=1;
}
}
}
}
}
void find_edge(int fa,int u) {
siz[u]=1;
for(int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p])
if(!vis[p>>1]&&v!=fa) {
find_edge(u,v);
siz[u]+=siz[v];
if(abs(N-2*siz[v])<mx)
mx=abs(N-2*siz[v]),id=p>>1;
}
}
void solve(int fa,int u,int dis,int cnt) {
if(cnt<=k)f[cnt]=max(f[cnt],dis);siz[u]=1;
for(int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p])
if(!vis[p>>1]&&v!=fa)solve(u,v,dis+val[p],cnt+black[v]),siz[u]+=siz[v];
}
void query(int fa,int u,int dis,int cnt) {
if(cnt<=k)ans=max(ans,dis+f[min(mx,k-cnt)]+len);siz[u]=1;
for(int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p])
if(!vis[p>>1]&&v!=fa)query(u,v,dis+val[p],cnt+black[v]),siz[u]+=siz[v];
}
int dfs(int fa,int u,int cnt) {
int res=cnt;
for(int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p])
if(!vis[p>>1]&&v!=fa)res=max(res,dfs(u,v,cnt+black[v]));
return res;
}
void work(int u,int size) {
if(size<2)return;
N=size,mx=id=cnt+1,find_edge(0,u);
vis[id]=1;len=val[id<<1];
int u1=son[id<<1],u2=son[id<<1|1];
mx=min(k,max(dfs(0,u1,black[u1]),dfs(0,u2,black[u2])));
for(int i=0;i<=mx;i++)f[i]=-inf;
solve(0,u1,0,black[u1]);
for(int i=1;i<=mx;i++)
f[i]=max(f[i],f[i-1]);
query(0,u2,0,black[u2]);
work(u1,siz[u1]),work(u2,siz[u2]);
}
int main() {
cnt=n=read(),k=read(),m=read();
for(int i=1;i<=m;i++) {
int x=read();
black[x]=1;
}
for(int i=1;i<n;i++) {
int x=read(),y=read(),v=read();
add(x,y,v),add(y,x,v);
}
find_son(0,1),rebuild();
work(1,cnt),printf("%d\n",ans);
return 0;
}
