bzoj3925: [Zjoi2015]地震后的幻想乡

仍然是自闭的%

首先hint给了一个提示，对于n个[0,1]之间的随机变量x1,x2,...,xn，第k小的那个的期望值是k/(n+1)

题目问的是最小生成树中最大边的e的期望，可以转化成最大边在所有边的期望排名*(m+1)

设p(i)为刚好i条边就能够把所有点连起来的概率

e(期望) = 1/m+1 * sigema(1~m) i*p(i)

　　　  = 1/m+1 * sigema(1~m)i sigema(j>=i)p(j)

sigema(j>=i)p(j)就是p的后缀和，等同于用i-1条边不能够把所有点连在一起的概率，令其为h(i-1)

e(期望) = 1/m+1 * sigema(0~m-1) h(i)

概率我们可以用i条边不能够把所有点连在一起的方案数f(i)除以用i条边随机出现的方案数计算

e(期望) = 1/m+1 * sigema(0~m-1) f(i)/C(m,i)

 

现在就要解决如何计算用i条边不能够把所有点连在一起的方案数

设f[0][i][zt]表示用了i条边，不能够把为zt的点集都连在一起，1表示可以

f[0][i][zt]= sigema(zt的子集tzt) sigema(j<i) f[1][j][tzt]*C[tot[zt^tzt]][i-j]

意思是选择一个联通的子集用了j条边，剩下的边乱选（可以保证不会和tzt里面的点相连，也就是说tzt这个块是独立出来的）

然后我们会发现一个问题，乱选的时候也有可能连出另一个联通块，这样会和枚举到这个子集的时候的计算重复 所以我们枚举子集的时候需要加一个条件，我们只用某一个点位于的联通块来更新答案

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL C[110][110];
void initC(int m)
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=m;j++)
            C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    }            
}
int tot[1100];
struct edge{int x,y;}e[110];
void inittot(int n,int m)
{
    int li=(1<<n)-1;
    for(int zt=1;zt<=li;zt++)
    {
        tot[zt]=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            if(((1<<e[i].x-1)&zt)&&((1<<e[i].y-1)&zt))
                tot[zt]++;
    }
}

LL f[2][110][1100];//是否联通，用了的边数，点集 
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d",&e[i].x,&e[i].y);
    initC(m);inittot(n,m);
    
    int li=(1<<n)-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)f[1][0][1<<i-1]=1;
    for(int zt=1;zt<=li;zt++)
    {
        int xt=(zt&-zt);
        for(int tzt=((zt-1)&zt);tzt;tzt=((tzt-1)&zt)) if(tzt&xt)
            for(int i=0;i<=tot[zt];i++)
            {
                int tli=min(i,tot[tzt]);
                for(int j=0;j<=tli;j++)
                    f[0][i][zt]+=f[1][j][tzt]*C[tot[zt^tzt]][i-j];
                f[1][i][zt]=C[tot[zt]][i]-f[0][i][zt];
            }
    }
    double ans=0;
    for(int i=0;i<m;i++)ans+=double(f[0][i][li])/C[m][i];
    printf("%.6lf\n",ans/(m+1));
    
    return 0;
}