从Shopping Plans谈起的一类的经典 kth 问题

一类 kth 相关问题

​ 实际上，这个 trick 以及其拓展在去年 noip 级别的模拟赛已经用到了多次，但是认知仅局限于“用优先队列”解决的一类题目，有时可以直接建立最短路模型。在去年一场 nfls 中甚至因为知道此 trick 而在最后一题狂砍 50 分，今天在 dmy 再遇，故整理其成体系。

T4 控制

有 $n$ 类装备，每种类型有 $m_i$ 种，且各有一个魔力值，定义一个方案为每一类选一个；你要求出前 $k$ 大方案的魔力值总和。

套路题，优秀的暴力是 用优先队列维护，类似搜索，从一个状态向外转移，并加入堆里。为了避免加重，需要加入顺序的约定。

正解比较复杂，但发现本质和 $dij$ 很像，所以可以转换成图论，建立 $nm$ 个点，每个第 $i$ 类的点，向每个第 $i+1$ 类的点连边。直接可并堆优化 k 短路即可。需要虚拟源点和汇点。

0.模型与思路

给定你一个价值的计算方案，具体又可分为序列上子集和，子区间（超级钢琴），树上连通块。要求输出其第 $k$ 大的价值，或前 $k$ 大价值的和。$k$ 通常在 ${10}^5$ 级别，而还有一类 $k={10}^{18}$ 类似的问题通常是使用二分答案解决。

这一类问题有通用思路：

对于目前考虑到的一个状态 $S$，设 $trans(S)$ 为 $S$ 的后继状态集合。首先将最优的 $S$ 放进堆中，重复下列操作 $k$ 次。

• 取出堆顶 $S$，计算 $S$ 的答案。
• 将所有 $trans(S)$ 放入堆里。

可以注意到，如果 $|trans(S)|$ 是 $O(1)$ 或者 $O(\log )$ 的，且都劣于 $S$，而且需要保证 $S$ 的状态不重不漏时算法可以在 $O(n\log n)$ 或者 $O(n{\log }^{2}n)$ 的时间复杂度内完成。问题的关键在于构造一个不重不漏的 $trans(S)$。

1.Multiset

给定一个可重集 $S$，求大小为 $p$ 的第 $k$ 小子集。

首先排序，最优一定是前 $p$ 项。先不考虑 $|trans(S)|$ 大小的限制，先满足不重不漏，因为这样我们至少能得到多项式复杂度的做法。

初始时 $S_0$ 为排序后的前 $p$ 个数，考虑以下构造方案：

• 每次将最右侧的未移动点向右移动若干位，但不能跨越已移动点。
• 将其标记为已移动点。

容易发现，对于任何一个大小为 $p$ 的状态，都有且仅有一种操作方案。实际上类似于二进制上逐位确定的方法。

我们可以将转移抽象为树的形式，这样做的问题就在于，节点的儿子实在太多了。

但是只要保证解是逐渐变劣的，那么这棵树的形态是不重要的，那么我们可以用树的兄弟儿子表示法将树三度化，也就是说，每个节点只存它最优的儿子和向右第一个兄弟。

设四元组 $(val,x,y,z)$ 表示权值和为 $val$，最长未移动前缀为 $x$，当前移动项为 $y$，右侧首个已移动项为 $z$。

• $(val,x,y,z)\to (val-v_y+v_{y+1},x,y+1,z)$ 表示最右侧的可移动点向右移动一格，也就是向右第一个兄弟。需要保证 $y+1<z$。
• $(val,x,y,z)\to (val-v_x+v_{x+1},x-1,x+1,y)$ 表示将当前 $x$ 向右移动一格。也就是最优的儿子。

不难发现，$x,y$ 的意义相当于于下次操作和这次操作的位置。初始加入 $(sum,p,n+1,n+1)$。用小根堆维护，时间复杂度 $O(n\log n)$。如果拓展至大小在 $[l,r]$ 区间中的子集，那么初始是对每个 $p\in [l,r]$ 都加入即可。注意这里 $n+1$ 实际上是 $inf$。

例题：CF1250I。

2.Arrays

$n$ 个数组，每个数组选一个数，求第 $k$ 小和。

$O(n^2\log )$ 的做法即是记录每个数组选到第几个位置。（注意去重：格外记录 $i$ 表示钦定前 $i$ 个已经选定了）。

最小的肯定是每个数组选第一个数。套路的，每个数组内部升序排序，设 $(val,x,y)$ 表示当前考虑到第 $x$ 个数组，第 $x+1\sim n$ 的数组全部只选第一个元素，第 $x$ 个数组选第 $y$ 个元素，这样同样可以保证转移只会变劣不会变优：

• $(val,x,y)\to (val,x+1,1)$ 表示考虑到下一个数组。
• $(val,x,y)\to (val-a_{x,y}+a_{x,y+1},x,y+1)$ 表示考虑当前数组的下一个位置。
• 初始为 $(\sum a_{i,1},1,1)$。

但是这样会算重，很简单，你在 $\{2,1,1,1,1\}$ 往下还会转移到 $\{2,1,1,1,1\}$。所以我们钦定每次只能向后转移到 $(x+1,2)$。

那当前数组想取第一个位置怎么办呢？我们只需在每个 $(x,2)$ 新增第三个转移：

• $(val,x,2)\to (val-a_{x,2}+a_{x,3},x,3)$。
• $(val,x,2)\to (val-a_{x+1,1}+a_{x+1,2},x+1,2)$。
• $(val,x,2)\to (val-(a_{x,2}-a_{x,1})+(a_{x+1,2}-a_{x+1,1}),x+1,2)$。

但是注意：我们仍然要保证不断变劣（递增），而 $-(a_{x,2}-a_{x,1})+(a_{x+1,2}-a_{x+1,1})$ 可能是负数，但是我们只需要数组间按照 $(a_{x,2}-a_{x,1})$ 递增排序即可。有点类似“反悔”的操作。

细节：对于长度为 $1$ 的数组，我们必须选且不能改变，所以提前算出这些的和，不把他们插进 vector 里即可。

例题：P2541 [USACO16DEC] Robotic Cow Herd P。

与 k 短路的联系：不难发现本题可以直接图论建模，分层图求 k 短路，不过有些小题大做了。

3.Multisets(Shopping Plans)

有 $n$ 个物品，每个物品有种类 $a$ 和价格 $c$。

对于第 $j$ 个种类，购买个数必须在 $[x_j,y_j]$ 的限制内。输出价格前 $k$ 小的方案。

将两者结合起来。外层仍然是 Arrays 的做法，转移到当前数组的下一个位置 $(x,y)\to (x,y+1)$ 就是 Multiset 取到下一个子集。

数组间是按照 $a_{j,x_j+1}-a_{j,x_j}$ 排序的。

说起来容易，实现起来或许非常困难。主要在于本题出人意料的特殊情况处理。

4.Tree

求树上第 $k$ 小连通块点权和。

先考虑包含根的连通块，对有根树求出 dfs 序，建立一张新图：

• $i\to i+1$ 表示选择 $i{d}_i$ 这个点。
• $i\to i+si{z}_i$ 表示跳过 $i$ 的子树。

然后问题转换为 DAG k 短路。外面再套一层点分治，即可将无根转换为有根。复杂度 $O(n{\log }^2)$。

5.Permutation

雷暴太强大：关于一类求前 k 优解的问题 - Cry_For_theMoon - 博客园 (cnblogs.com)。