同余数论

数论：同余相关

1. 基本定义与记号

• 剩余类：模 \(n\) 同余的所有数构成的等价类被称为模 \(n\) 的剩余系。模 \(n\) 余 \(i\) 的剩余类记作 \(K_i\)。
• 完全剩余系：从 \(n\) 个模 \(n\) 剩余系中各选一个数 \(a_0,a_1...a_{n-1}\)，他们构成模 \(n\) 的完全剩余系。
• 简化剩余系：从与 \(n\) 互质的剩余类中各选一个数 \(a_1,a_2...a_k\)，\(k=\varphi(n)\)，简化剩余系又被称为 既约剩余系 或 缩系。
• 质因子次数符号 \(v_{p}(n)\)。
• 各位数字之和符号 \(s_p(n)\) 表示 \(n\) 在 \(p\) 进制下各位数字之和。

2.费马小定理

引理：当 \(p\in P\)，其因子只有两个。因此，若两个数相乘是 \(p\) 的倍数，其中至少一个一定是 \(p\) 的倍数。

当 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数时，不存在 \(x\ne y\)，且 \(1\le x,y< p\) 使得 \(xa\equiv ya \pmod p\)，因为引理告诉我们，\(x-y\) 是 \(p\) 的倍数，与 \(1\le x,y<p\) 限制矛盾。

进一步，考虑 \(1\sim p-1\) 所有数，他们乘以 \(a\) 之后在模意义下互不相同，说明结果仍然是 \(1\sim p-1\) 所有数。

因此，\(\prod\limits_{i=1}^{p-1}i\equiv \prod\limits_{i=1}^{p-1} a i\pmod p\)，又因为 \(\prod i\) 显然不是 \(p\) 的倍数，所以：

\[a^{p-1}\equiv 1 \pmod p \]

该结论称为 费马小定理，适用于 \(p\) 是质数，且 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数的情形。即 \(a\perp p\)。

3. 线性求逆元

1.求连续自然数的逆元

设 \(p=ki+r\)，其中 \(p\) 是模数，将其表示为除以 \(i\) 的商和余数。有：

\[ki+r=0 \pmod p \]

左右同乘以 \(i^{-1}r^{-1}\)，有：

\[kr^{-1}+i^{-1}\equiv 0\pmod p \\ i^{-1}\equiv -kr^{-1}\pmod p \\ i^{-1}\equiv -\lfloor\frac{p}{i}\rfloor\times (p\bmod i)^{-1}\pmod p \]

inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < p; ++ i)
    inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;

2.求连续阶乘的逆元

\[inv_{i+1}=\frac{1}{(i+1)!},inv_{i+1}\times(i+1)=inv_{i} \]

因此需要先 \(O(\log)\) 求出 \(n!\) 的逆元，然后逆推即可。

3.求任意n个数的逆元

与连续阶乘类似，先计算 \(n\) 个数的前缀积，记为 \(s_i\)，\(O(n\log)\) 求得 \(s_n\) 的逆元，记作 \(sv_n\)。有递推式：

\[sv_{n-1}\equiv sv_{n}\times a_n \pmod p \\ inv_n\equiv sv_n*s_{n-1}\pmod p \]

4. 威尔逊定理

引理：\(x^2\equiv 1\pmod p\) 当且仅当 \(x=\pm 1\)。同样用于二次剩余相关。

证明：使用平方差公式：\((x-1)(x+1)\equiv 0\pmod p\iff x=p-1,x=p+1\)。

由于乘法逆元成对存在，这启发我们思考，\(1\sim p-1\) 所有数能否两两配对互为逆元，发现除了 \(\pm1\) 以外均可以，且这两个根据引理自我配对。

这说明了威尔逊定理： \((p-1)!\equiv -1 \pmod p\)。相当于不管 \(1\)，只剩下一个 \(p-1\)。对于特殊情况 p=2 依然满足。

拓展：

\[(p ^ k!)_p \equiv \begin{cases} 1 & p = 2 \land k \geq 3 \\ -1 & {\rm otherwise}\end{cases} \]

用于 exLucas。

5.Legendre公式

问题：求 \(n!\) 中质因子 \(p\) 的指数，即 \(v_p(n!)\)。这对我们处理组合数很有用。

\[v_p(n!)=\sum_{i=1}^{\lfloor\log_p n\rfloor} \lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor \\ =\dfrac {n - s_p(n)}{p - 1} \]

特别的，当 \(p=2\) 时，\(v_2(n)=n-popcount(n)\)。

6.Kummer定理

7. 剩余系与环

结论：在长为 \(n\) 的环上每一步走 \(k\) 条边，形成的子环个数为 \(\gcd(n,k)\) 且环长为 \(\frac{n}{\gcd(n,k)}\)。

感性理解：给环标号，走到的点模 \(\gcd(n,k)\) 一定相同，且可以证明一定能走到所有同剩余系的点。

8 拓展欧几里得算法

用于求解形如 \(ax+by=c\) 的二元线性不定方程。

解的存在性：裴蜀定理 \(\gcd(a,b)|c\)。

证明：左式一定是 \(\gcd(a,b)\) 的倍数，因此只需考虑 \(c'=c/\gcd(a,b)\) 的情形即可。即 \(a,b\) 均除以 \(\gcd\)。此时 \(a\perp b\)。只需证明 \(ax\bmod b\) 可以取得 \(0\sim p-1\) 的所有数，相当于费马小定理。

求解：

只需先求 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 即可，再将解乘以 \(\frac{c}{\gcd}\)。根据裴蜀定理，解的存在性保证。

回忆辗转相除法的过程，我们用了关键结论：\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)

\[ax_1+by_1=\gcd(a,b)\\ bx_2+(a-b\cdot\lfloor\frac{a}{b}\rfloor)y_2=\gcd(b,a\bmod b) \\ ax_1+by_1=(a-b\cdot\lfloor\frac{a}{b}\rfloor)y_2+bx_2 \\ x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2 \]

注意，前后 \(x_1\ne x_2,y_1\ne y_2\)。但是 \(a,b,\gcd\) 是相同的。

值域限制：可以证明，直接求的特殊解一定有 \(|x|\le b,|y|\le a\)。因此不必再开大一个数据类型。

一般解的形式：

\(D=(a\Delta x)= (b\Delta y)\)，有 \(a,b|D\)，故 \(lcm(a,b)|D\)，\(\Delta x=\frac{k \cdot lcm(a,b)}{a}=\frac{k\cdot b}{\gcd(a,b)}\)。

\[\begin{cases} x = x_0 + \dfrac b \gcd k \\ y = y_0 - \dfrac a \gcd k \end{cases} \quad (k \in \Z) \]

应用：

1. 求逆元：不要求 p 是质数，只需 a,p 互质。将其看做 \(ax+py=1\) 的最小正整数解 \(x\) 即可。
2. 逆元个数：\(0\sim p-1\) 中有 \(\gcd(a,p)\) 个 \(a\) 的逆元，显然只有在 \(p\) 不是质数时有多个逆元。
3. 若 \(a\perp b\)，则 \(ax\bmod b\) 取遍 \(0\sim b-1\)，这是比费马小定理强的结论。

9. 欧拉函数

定义：\([1,n]\) 中与 \(n\) 互质的个数记作 \(\varphi(n)\)，\(\varphi(1)=1\)。

性质 1：\(\varphi(p^k)=(p-1)\times p^{k-1}=p^{k-1}\varphi(p)\)。

每 \(p\) 个数只有 \(kp\) 与它不互质，这也间接证明了积性。

性质2：\(\varphi(n)=n\prod\frac{p_i-1}{p_i}\)。

将性质 1 与积性带入即可。

性质3：若 \(a|b\)，那么 \(\varphi(ab)=a\cdot \varphi(b)\)。

根据性质 2，\(b\) 中已经包含了 \(a\) 的所有质因子。应用于线性筛。

欧拉反演

\[\sum_{d|n}\varphi(d)=n\iff \varphi*I=id \]

证明：考虑枚举 \(\gcd(i,n)=d\)，那么满足的 \(i\) 的充要条件是 \(i/d\perp n/d\)，这样的 \(i\) 有 \(\varphi(n/d)\) 种（得到的结果均再乘以 \(d\)）。

欧拉定理

考虑 \(1\sim p-1\) 中与 \(p\) 互质的数，将其记作 \(c_1,c_2,\cdots ,c_{\varphi(n)}\)，根据裴蜀定理，若 \(a\perp p\)，则 \(ax\bmod p\) 取遍 \(0\sim p-1\)，互不相同。因此，\(ac_1,ac_2,\cdots,ac_\varphi\) 仍然互不相同，且与 \(p\) 互质。因此两个集合是相同的，他们的乘积也相同。

\[\prod_{i=1}^{\varphi(n)} c_i\equiv\prod_{i=1}^{\varphi(n)} ac_i \pmod p \\ 1\equiv a^{\varphi(m)} \pmod p \]

扩展欧拉定理

\[a ^ b \equiv \begin{cases} a ^ {b\ \bmod\ \varphi(p)} & \gcd(a,p) = 1 \\ a ^ b & \gcd(a, p) \neq 1, b < \varphi(p) \\ a ^ {b\ \bmod\ \varphi(p) + \varphi(p)} & \gcd(a, p)\neq 1, b \geq \varphi(p) \end{cases} \pmod p \]

10. 离散对数

离散对数问题即在模意义下求 \(\log_ab=x\)，这等价于：

\[a^x\equiv b\pmod p,a\perp p \]

考虑 Meet in the Middle，我们运用分块平衡思想，先大步求出 \(a^\sqrt n ,a^{2\sqrt n},\cdots,a^{k\sqrt n}\)，并将他们的逆元作为下标扔进 map 里，注意到这里逆元不是瓶颈。即 Giant Step。

问题变为，找到一个 \(x\le \sqrt n\)，使得 \(a^x\equiv c\)，找到这样的 \(x\) 即可。即小步 Baby Step。复杂度 \(O(\sqrt p \log)\)。

笑点解析：1. BSGS的B不是Big而是Baby，2.BSGS和大步小步是反着来的。

实际上，可以用哈希表做到 \(O(\sqrt p)\)。具体的，设 \(x=kB-r\)，则有 \(a^{kB}\equiv b a^r\)，这样就不需要求逆元了。

我们从小到大枚举指数，所以得到的是最小非负整数解。

\(\log_ab\) 实际上有循环节，循环节长度被称为阶ord。

exBSGS

如果没有 \(a\perp p\)，我们可以尝试将其凑成互质：将等式两边同时除以 \(d=\gcd(a,p)\)，那么方程变为：

\[\frac{a}{d}a^{x-1}\equiv \frac{b}{d}\pmod{\frac{p}{d}} \]

若 \(d\not\mid b\) 则无解。

此时 \(\frac{a}{d},\frac{p}{d}\) 互质，但不一定是质数，因此需要 exgcd 求逆元。移项，方程变为 \(a^{x-1}\equiv \frac{b}{d}\times(\frac{a}{d})^{-1}\pmod {\frac{p}{d}}\)。若此时 \(a\perp \frac{p}{d}\)，则直接使用 BSGS 求解，否则递归进行，直到互质。

注意：BSGS前每次递归操作，\(a\) 的指数都会减一，所以记录操作次数 \(t\)，最终答案 \(x=x'+t\)。

时间复杂度 \(O(\log^2+\sqrt p)\)。

11. 阶与原根

模 \(n\) 的简化剩余系在模 \(n\) 乘法意义下封闭且构成群，满足封闭性和结合律，存在逆元和单位元。将群相关的定义应用在其上，得到阶和原根（循环群生成元）的概念。

阶的定义如下：使得 \(a^x\equiv 1\pmod m\) 的最小正整数 \(x\) 被称作 \(a\) 模 \(m\) 的阶，记作 \(\delta_m(a)\)。即 \(\log_a 1\)，换句话说，一个数自乘若干次，第一次得到 \(1\) 的自乘次数。与群论中ord的定义相同。

\(a\perp m\) 是存在 \(\delta_m(a)\) 的充要条件。

性质1：\(a^1,a^2,\cdots,a^{\delta_m(a)}\) 模意义下两两不同。

证明：若 \(a^i\equiv a^j\pmod m\)，那么 \(a^{i-j}\equiv 1 \pmod m\) 与阶的最小性矛盾。

性质2：若\(a^n\equiv 1\pmod m\)，那么 \(\delta_m(a)|n\)。

性质3：

\[\delta_m(ab)=\delta_m(a)\delta_m(b)\iff \gcd(\delta_m(a),\delta_m(b))=1 \]

性质4：

\[\delta_m(a^k)=\frac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),k)} \]

求阶：

1. 使用 BSGS，复杂度 \(O(\sqrt m)\)。
2. 根据性质2，首先令 \(x=\varphi(m)\)，对于 \(\varphi(m)\) 的每个质因子 \(p\)，\(x\) 不断试除 \(p\) 直到无法整除。

原神

原根的定义如下：对于 \(m\in \N_+\)，\(a\in\Z\)，且 \(a\perp m\)，若 \(\delta_m(a)=\varphi(m)\)，则称 \(a\) 为模 \(m\) 的原根。

更直观的，\(a\) 是模 \(m\) 的原根，那么（欧拉定理）：

\[a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod p \]

且对于任意小于 \(\varphi(m)\) 的指数，都不满足。

并不是所有数都有原根，存在原根的模 \(m\) 既约剩余系同构与循环群，因为这一概念等价于循环群中的生成元。

原根的若干次幂在模意义下取遍了所有与 \(m\) 互质的数。

原根判定定理：对于任意 \(\varphi(m)\) 的质因子 \(p\)，均有 \(a^{\frac{\varphi(m)}{p}}\ne 1\)。

原根存在定理：一个数存在原根的充要条件是 \(m=2,4,p^a,2p^a\)，其中 \(p\) 是奇质数。

原根个数定理：\(\varphi(\varphi(m))\) 。

最小原根大小：上界为 \(O(m^{0.25})\)，实际大多会非常小，暴力枚举即可。

原根转加法

要求 \(ab\pmod m\)，可以令 \(a=g^x,y=g^b\)，那么就是 \(g^{x+y}\pmod m\)。相当于实数中的对数函数。