[ARC122E] Increasing LCMs【归纳构造】

[ARC122E] Increasing LCMs

给定序列 \(a\)，构造一种重新排序的方案使得其前缀 LCM 严格递增。

考虑归纳构造（倒序构造）。

\(n=1\) 显然成立。

对于 \(n>1\)，我们考虑任意找出这个序列的最后一个数，满足题目要求 \(\text{lcm}(a_j)<\text{lcm}(\text{lcm}(a_j),a_i),j\ne i\)，就选择其作为当前序列最后一项，问题变成一个 \(n-1\) 的子问题。

引理： 一个序列合法，那么其任意子序列都合法。

很好感性理解，理性证明的话，考虑 \(\text{lcm}\) 的实质是质因数分解后，对一串底数的指数取 \(\max\)，也就是说合法序列中每一个 \(i>1\) 的位置，其至少有一个质因数的指数是其前缀 \(\max\)，前缀 \(\max\) 单调不降，所以删掉可以保证后面依旧合法。

回到原问题，我们要证明这样任意选择，不会使得答案的总数减少。考虑一个可能成为最终答案的答案，满足最后一项不是 \(a_i\)，那么把 \(a_i\) 删掉，根据引理可得此时依旧合法，变成一个大小为 \(n-1\) 的子问题，再从后面加上 \(a_i\)，根据构造规则这样依旧合法。

经典套路： 求一串数的 lcm 常常因为太大无法保存，如果值域较小可以存质因数的指数，但本题值域高达 \(10^{18}\)，需要转换条件：\(a_i\) 存在一个严格最大指数，而 gcd 相当于取 min，因此转换为 \(\text{lcm} (\text{gcd}(a_i,a_j))<a_i\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
int read(){
	char c=getchar();int h=0,tag=1;
	while(!isdigit(c)) tag=(c=='-'?-1:1),c=getchar();
	while(isdigit(c)) h=(h<<1)+(h<<3)+(c^48),c=getchar();
	return h*tag;
}
void fil(){
	freopen("data.in","r",stdin);
	freopen("data.out","w",stdout);
}
const int N=105;
int a[N],b[N];
int lcm(int a,int b){
	return a/__gcd(a,b)*b;
}
void work(int n) {
	if(n==1) {
		b[1]=a[1];
		return ;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int res=1;
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			if(i==j) continue;
			res=lcm(res,__gcd(a[i],a[j]));
		}		
		if(res<a[i]) {
			b[n]=a[i];
			for(int j=i;j<=n-1;j++) a[j]=a[j+1];
			work(n-1);
			return ;
		}
	}
}
signed main(){
//	fil();
	int n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	work(n);
	if(b[1]) {
		puts("Yes");
		for(int i=1;i<=n;i++) cout<<b[i]<<" ";
		cout<<endl;
		return 0;
	}
	puts("No");
	return 0;
}