2.基础优化技巧

合集 - 洛谷SX-B 2024(3)

1.1. 线段树与树状数组的进阶用法2024-08-232.9. 容斥与反演2024-08-23

3.2.基础优化技巧2024-08-23

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基础优化技巧1

三分

一般仍然是用二分+eps处理。

01分数规划

求解形如：

有 $n$ 个物品，每个物品有两个权值 $a,b$，选出一些物品，使得两个权值和的比值最大或最小。也就是另 $w_i=0/1$，最大化：

$$\frac{\sum w_i\times a_i}{\sum w_i\times b_i}$$

一般我们用二分答案处理，移项可得：

$$\sum w_i(a_i-t\times b_i)\ge 0$$

例题1- [HNOI2009] 最小圈

给定有向带权图，在图上找一个环，使得环上边权和除以节点个数最小，求这个最小的平均值。

$n\le 3000,m\le 1000,w_i\le {10}^7$。

观察到答案是比例形式，联想到 $0/1$ 分数规划。考虑把边看作 $a$，点看作 $b$，二分一个答案后，边权 $v$ 重新赋值为 $v-t$，使用 SPFA 找负环即可。找到负环说明 $mid$ 仍能再小。

判负环注意是入队次数大于等于 $n$。

写完才发现远古题的恶心之处：

• 复杂度正确的 BFS SPFA过不了，复杂度错误的 DFS SPFA能过？
• 题解所有人的算法最差复杂度达到 $O(m^{2}n\log )$，这也能过？
• 4202年还需要洛谷机子加强到 5s，9002年的科技就是发达，1s跑3e9。

整体二分

建议改名整体分治。注意复杂度分析。

例题2- P3527 [POI2011] MET-Meteors

有一个初始为 $0$ 的序列 $a$ 和 $m$ 个操作，每个操作是区间 $[l_j,r_j]$ 加 $k_j$。你要对于每个位置 $i$，求出第几次操作后能使得 $a_i>x_i$。

$n\le 3\times {10}^5$。

可以主席树二分做，但是空间被卡了。

如果只有一个国家是简单的，直接二分时间+前缀和即可。

考虑对所有国家同时进行二分， 函数 solve(l,r,<vector>v) 表示时间（操作数）的范围是 $[l,r]$，序列是 $v$。

每次二分一个 mid=l+r>>1，执行 $[1,mid]$ 时间内的操作，看每个点是否超过限制 $x_i$。超过则说明需要小一点，放在 $v_l$ 里，否则放在 $v_r$ 里。注意树状数组及时清空即可。

以上是常见错误，复杂度退化成单个二分。

实际上整体二分是分治，不知道谁起的这个名字。分治过程中复杂度只能与分治区间有关。树状数组需要通过撤销清空。

复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

怎么这题还卡 long long。

void solve(int l,int r,vector<int>v) {
	int mid=l+r>>1;
	if(l==r) {
		for(int x:v) ans[x]=l;
		return ;
	}
	vector<int>v1,v2;
	for(int i=l;i<=mid;i++) {
		if(op[i].l<=op[i].r)
		t.update(op[i].l,op[i].r,op[i].k);
		else t.update(1,op[i].r,op[i].k),t.update(op[i].l,m,op[i].k); //
	}
	for(int x:v) {
		int tmp=Query(x);
		if(tmp<lim[x]) lim[x]-=tmp,v2.push_back(x);
		else v1.push_back(x);
	}
	for(int i=l;i<=mid;i++) {
		if(op[i].l<=op[i].r)
		t.update(op[i].l,op[i].r,-op[i].k);
		else t.update(1,op[i].r,-op[i].k),t.update(op[i].l,m,-op[i].k); //
	}
	solve(l,mid,v1);solve(mid+1,r,v2);
}

补充例题 P8231 [AGM 2022 资格赛] 农场

将例题2 搬到矩形上

套用二维树状数组即可。

分治

例题3- 【模板】三维偏序

三维偏序，第一维度直接排序做。

然后分治，处理经过分治中点的区间，第二维度左右区间分别归并排序后双指针，注意这样仍满足第一维度的限制，第三维度双指针的时候用权值树状数组在左区间修改，右区间查询。

注意处理相等元素会很麻烦，所以直接去重就好了。记录一下重复元素个数。

bitset 解决 更高维度的偏序

构造01矩阵 $S_p$ 表示第 $p$ 维度的偏序关系，不难发现 $S_1(i,j)\text{and}{S}_2(i,j)...$ 即为 $i,j$ 在所有偏序上的关系。只需用 count() 函数计算 bitset 中 $1$ 的个数即可。

构造 $S$ 的过程也比较简单，对于每一维先排序，再用 bitset 记录比自己小的集合即可。

时空复杂度 $O(n^2/\omega ),\omega =64$，时间上常数较小，空间上比较紧：**牢记NFLS bitset 惨案：1个长度为 $N$ 的 bitset 内存是 $N\times 4/\omega ,\omega =32$ **。当 $N={10}^{10}$ 时达到了 1G+，小心MLE保龄。

补充例题 ：P3769 [CH弱省胡策R2] TATT

四维偏序

补充例题：P5979 [PA2014] Druzyny

例题4：分治与最短路 - P3350 [ZJOI2016] 旅行者

给你一个 $N\times M$ 的网格图，边有正边权，$Q$ 次询问，从 $(x_0,y_0)\to (x_1,y_1)$ 的最短距离。$N\times M\le {10}^4,Q\le {10}^5$。

好题！二维题分治一维。

我们知道长成最短路的通常只能用最短路算法（网格图虽说可以 $dp$，但显然不好做），我们曾做过：[GXOI/GZOI2019] 旅行者，使用二进制分组的方式建虚拟源点跑 $\log$ 次最短路。那么这道题能否用类似的方式呢？

观察到 $N\times M\le {10}^4$，$\text{CandyBar}$ 曾在根号重构中讲过类似的处理套路，即 $min(N,M)\le 100$。

那么就可以枚举较短的那一条边作为虚拟源点了，外面再套个啥？理应想到分治，因为我们能根号对数时间内快速处理跨过一个点的询问点对。用分治进行降维。

复杂度 $O(n\sqrt{n}\log n+Q\sqrt{n})$。

例题5：区间最大值分治 - CF1156E Special Segments of Permutation

给定长度为 $n$ 的排列，求多少区间满足 $p_l+p_r=\underset{i=l}{\overset{r}{max}}{p}_i$。

不要往扫描线上想，这是经典序列分治，直接考虑中点，和前缀后缀最大值即可。比较麻烦。

还有一种不大经典的分治，考虑最大值分治，然后最大值所代表的区间是好确立的，我们 只遍历短的那一边，另一边用数据结构 数组查找。

另外可以往笛卡尔树启发式合并上想。

补充例题：CF1175F The Number of Subpermutations

求满足 $1...r-l+1$ 各出现一次的区间 $[l,r]$。

考虑刻画一个满足条件的区间：

• 区间最大值为 $r-l+1$
• 区间每个数都只出现了一次。

发现这样足以，前者可以区间最大值分治，后者可以用比较套路的方法：记录上一个出现的位置为 $p_i$，则 $\underset{i=1}{\overset{r}{max}}{p}_i<l$。

注意到区间长度实际上已经确定，因此无论左边右边都直接枚举做即可。

Wa了一次的原因是，枚举左端点，算出右端点，需要保证右端点跨过最大值。

补充例题1：P5979 [PA2014] Druzyny

倍增

常见应用：

• Floyd 判圈
• 求LCA / $k$ 级祖先
• ST 表

要求：具有结合律，不要求可减性。

例如：$O(\log n)$ （查询）求树上路径 $min,gcd$。

其正确性由 二进制表示的唯一存在性给出。

例题6：国旗计划

环上给定 $n$ 个没有包含关系的区间 $[l_i,r_i]$，求必须选第 $i$ 个区间的情况下，还需要选多少区间才能使得 $[1,n]$ 全部被覆盖。

首先断环为链，对于本题，要么处理区间，要么处理位置。

处理区间的话，我们有显然的贪心策略：如果按右端点排序，跳到最后一个左端点小于当前区间右端点的区间。这个可以简单预处理得到。

然后需要从一个区间不断跳，直到跳到这个区间左端点右边，我们有 $O(n^2)$ 的模拟，可以倍增优化这个过程。

哈希

通过把某个对象通过对其特征的描述映射为一个值来去重/判断相等。

关键在于抽象其关键信息，以构造适当的哈希函数。

字符串哈希

把字符串看作 B (B>26) 进制数，随机选择一个大质数 $P$。结论是两个随机字符串的哈希值相同的概率大约是 $\frac{1}{P}$。所以当比较次数较大的时候使用双模哈希。但打CF的时候小心被人对着卡。

自然溢出容易撞的原因是：如果哈希函数构造不当导致很多偶数乘进来，例如结果为一个 $2^{100}\cdot d$，自然溢出的结果为 $0$。

例题7 异或哈希：[ABC250E] Prefix Equality

给定两个序列 $A,B$，多次询问，每次给出 $x,y$，判断 $A$ 的前 $x$ 项和 $B$ 的前 $y$ 项构成的集合是否相同。（集合不可重）

显然是和顺序无关的函数，而且我们只在第一次出现的地方修改哈希即可。

常见的套路就是每个值随一个大数，异或起来。

如果拓展到区间，放到主席树上就ok了。

Trie

例题8：P3065 [USACO12DEC] First! G

给定若干字符串，你可以任意规定字符间的偏序关系，求有多少字符串能够成为字典序最小的字符串。

首先只有作为前缀的字符串才有可能是答案。

建出 trie 树，一个串能成为答案，那么从根到这个节点，会形成若干偏序关系，我们需要判断这个偏序关系是否合法。

后者是经典图论模型，偏序关系连边后判断是否成环即可。可以用拓扑排序。

例题9：P4551 最长异或路径

给定一棵树，边有边权，求两点间路径异或和最大是多少。

树上路径异或直接前缀和，甚至不需要求 lca。

问题转换为 $n$ 个数两两异或和最大是多少。都插到 01trie 里，查询的时候尽可能反着走就行。

注意全局加一是从小往大插，其它都是从大往小插。

例题10：CF888G Xor-MST

有一张 $n$ 个点的完全图，边权为 $a_i\oplus a_j$，求MST。

妙妙题。

实际上是 B开头的 MST 算法，考虑初始有 $n$ 个连通块，每次寻找所有连通块连出去的最小边，将这些边加入最小生成树，并合并这些连通块。

每次连通块个数至少减半，所以复杂度是 $O(m\log n)$。

对于这个题，我们建出 01trie 后，如何找最小边？这两个点的 lca 一定尽可能深，所以 dfs 一遍tire，从下往上，找到一条最小的边，合并每个点的左右子树。根据 B-算法，这样做是正确的。不需要 dsu 等其他东西。

如何找到最小的边？可以遍历较小的一棵子树，在另一棵子树查询，复杂度类似启发式合并。

也可将原数组排序后再建树，这样树上每个点都对应原数组一段区间。直接遍历即可，每个点只会被其祖先访问，01trie深度是对数级别的。总复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。