ARC143C

\(\text{Difficulty:} \color{Blue}{1697}\)

description

给定 \(n\) 堆石子，两个人轮流取，不能操作者败。

每次取选择若干堆石子，先手取走 \(x\) 个，后手取走 \(y\) 个。

判断胜负。

solution

首先考虑一堆石子 \(a\) 的情况。

显然先将 \(a\) 对 \(x+y\) 取模，设 \(b=a\bmod (x+y)\)。

不难发现，如果 \(b\ge x\)，先手必赢，否则必输。

考虑 \(n\) 堆石子的情况。

首先可以想到，如果每一堆石子数对 \(x+y\) 取模得到的数都 \(< x\)，那么先手必败，此时后手只要重复先手的操作即可。

然后考虑分讨 \(x,y\) 的大小关系。

• \(x \le y\)

  此时先手必胜。

  因为存在至少一堆石子，其数量 \(a\) 满足 \(a \bmod(x+y) \le x \le y\)，先手可以在第一步取满足条件的堆，之后模仿后手的操作，就能让后手最后无法操作。

• \(x>y\)

  此时需要分讨(AT 数据水，这里直接输出后手必胜都能过)。

  考虑特殊情况。

  • 如果存在至少一堆石子，其数量 \(a\) 满足 \(y\le a \bmod (x+y)<x\)，则后手必胜。

    此时后手可以选择模仿先手的操作，所有堆满足数量 \(<(x+y)\) 之后，因为 \(y<x\)，所有先手可以操作的堆，后手都可以操作，所以后手必胜。

  • 反之，先手必胜。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(nullptr);

  int n,x,y;
  cin>>n>>x>>y;

  vector<int>a(n);
  bool f=0;
  for(int &i:a){
    cin>>i;
    i%=(x+y);
    f|=(i>=x);
  }

  if(!f){
    cout<<"Second\n";
  }
  else if(x<=y){
    cout<<"First\n";
  }
  else{
    f=0;
    for(int i:a){
      f|=(i>=y&&i<x);
    }
    if(!f){
      cout<<"First\n";
    }
    else{
      cout<<"Second\n";
    }
  }
  return 0;
}