光速幂学习笔记

光速幂

黑科技……

使用情况

快速求 \(a^b \bmod m\) 的值。
在幂运算的底数和取余的模数已经确定的情况下可以使用光速幂。
比如 P3747 [六省联考 2017] 相逢是问候 中需要用光速幂，否则很难卡过。
\(\color{White}{\text{其实是因为那题才来学光速幂的}}\)

原理

根据拓展欧拉定理：

对于 \(a,m\in \mathbb{Z}\)，有 \(a^b \equiv \begin{cases}a^b&b< \varphi(m) \\a^{\left( b \bmod \varphi(m) \right)+\varphi(m)}&b>\varphi(m)\end{cases} \pmod{p}\)

可以先把 \(b\) 的值缩小到 \(2 \times \varphi(m)\)。
令 \(k=\left\lceil\sqrt{b}\,\right\rceil\)，对于 \(b\) 显然有 \(b = \left\lfloor\dfrac{b}{k}\right\rfloor \times k +b \bmod k\)
就可以将 \(a^b\) 转化为： $$a^b =a^{\left\lfloor\dfrac{b}{k}\right\rfloor \times k +b\bmod k}$$

写法

所以就能 \(O(\sqrt{n})\) 地预处理：
定义两个数组 \(x,y\)
令 \(x_i=a^i,i \in \left[ 1,k \right]\)，显然可以通过 \(x_i=x_{i-1} \times a\) 得到数组 \(x\)，其中要初始化数组为 \(x_0=1,x_1=a\)。
令 \(y_i=\left( a^k \right)^i\)，显然可以通过 \(y_i=y_{i-1}\times a^k \text{也就是} x_k\) 得到数组 \(y\)，其中初始化数组为 \(y_0=1,y_1=x_k\)。
所以 \(a^b \bmod p = x_{\left\lfloor\dfrac{b}{k}\right\rfloor} \times y_{b \bmod k}\)。

代码

Loj#162 快速幂 2
没用 \(\varphi\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define L(i,j,k) for(int (i)=(j);i<=(k);(i)++)
const int p=998244352,N=4e4;
int n,x,a[N]={1},b[N]={1},bl;
signed main(){
  ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
  cin>>x>>n;bl=sqrt(x)+1;
  L(i,1,bl) a[i]=1ll*a[i-1]*x%p;
  L(i,1,bl) b[i]=1ll*b[i-1]*a[bl]%p;
  L(i,1,n) cin>>x,cout<<1ll*a[x%bl]*b[x/bl]%p<<' ';
}

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UPD：2022.10.6

终于回来更新使用 \(\varphi\) 的做法了。
国庆期间一道多校模拟。
Dahsa. 常数之神 小W
出题人声称光速幂要卡常才能过，且其复杂度与幂数的值域挂钩。
你这光速幂太假了
结果只要用拓展欧拉定理先降幂再进行预处理，就能吊打标算。

同时，标算的快速幂做法依赖于数据随机。
在数据随机的情况下，理论上只需进行 $\ln n $ 次快速幂，所以 \(O(n+ \ln n \log_2 V)\) 的时间复杂度可以通过。
但只要把数据改成反向递增的过程，就能轻松卡掉这一做法。

如果使用上面提到的使用 \(\varphi\) 先降幂后预处理的光速幂做法，可以将时间复杂度优化到 \(O(\sqrt{\text{模数}})\) 的预处理和 \(O(2\cdot n)\) 的询问的程度，能在不用任何包括 O2 在内的优化跑赢魔鬼卡常的标算。

这题中，由于模数已知，所以可以直接提前计算出其 \(\varphi\) 值和对应光速幂数组的预处理长度，算是一个常数优化。

而且，这种做法不依赖数据随机，时间复杂度能做到严格 \(O(n)\)，只有 \(2\) 的询问常数，也不用像题解的光速幂那样分成三块，虽然预处理的时间复杂度降低了，但那样只会让询问的时间增长，但实际上光速幂的预处理常数可以忽略不计，所以此时只分成两块是更优的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define L(i,j,k) for(int (i)=(j);i<=(k);(i)++)
#define R(i,j,k) for(int (i)=(j);i>=(k);(i)--)
#define FST ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
unsigned long long seed;
inline unsigned long long next_integer(){
  seed^=seed<<19;seed^=seed>>31;
  seed^=seed<<13;return seed;
}const int mod=2005232425;
int n,k;unsigned long long V,a[134217728],mi,lst;
long long x[90000]={1},y[90000]={1},bl=52440,ans,phi=1375016400;
void build(){
  L(i,1,bl) x[i]=x[i-1]*k%mod;
  L(i,1,bl) y[i]=y[i-1]*x[bl]%mod;
}void out(unsigned long long b){
  if(b>=phi) b%=phi,b+=phi;
  ans+=(lst=x[b%bl]*y[b/bl]%mod);
}int main(){
  freopen("w.in","r",stdin);freopen("w.out","w",stdout);
  FST cin>>n>>V>>k>>seed;
  L(i,0,n-1) a[i]=next_integer()&V;build();
  L(i,0,n-1) swap(a[i],a[next_integer()&n-1]);
  mi=a[n-1];out(mi);
  R(i,n-2,0)
    if(a[i]<mi) out(mi=a[i]);
    else ans+=lst;
  cout<<ans;
}