费马小定理及其证明

费马小定理

内容

如果存在一个质数 $p$，保证 $\gcd(a,p)=1$，则有 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$
也就是说，对于一个质数 $p$，除了这个质数的倍数之外的所有数 $a$ 都满足 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

证明

假设有一个质数 $p$ 与一个与 $p$ 互质的数 $a$。
首先构造一个序列： $A=\left\{ a,2 \times a,3 \times a,4 \times a,\dots,(p-2) \times a,(p-1) \times a \right\}$，即 $A_i = i \times a$
因为已知 $\gcd(a,p)=1$
所以易得在 $A$ 中的任意两个元素不在模 $p$ 意义下同余。
而且因为 $A$ 中所有元素不与 $0$ 同余，
所以 $A$ 中元素必然在模 $p$ 意义下分别与 $a,2,3,\dots,p-2,p-1$ 同余。
把这些同余式乘起来，得到： $$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1) \times a^{p-1} \equiv 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1) \pmod{p}$$
两边同时减去 $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1)$ 可得： $$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1) \times \left( a^{p-1}-1 \right) \equiv 0 \pmod{p}$$
因为前面这一串 $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1)$ 均不与 $0$ 在模 $p$ 意义下同余，所以 $a^{p-1}-1$ 必然与 $0$ 在模 $p$ 意义下同余。
即 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$
得证。