费马小定理及其证明

费马小定理

内容

如果存在一个质数 \(p\)，保证 \(\gcd(a,p)=1\)，则有 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)
也就是说，对于一个质数 \(p\)，除了这个质数的倍数之外的所有数 \(a\) 都满足 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)

证明

假设有一个质数 \(p\) 与一个与 \(p\) 互质的数 \(a\)。
首先构造一个序列： \(A=\left\{ a,2 \times a,3 \times a,4 \times a,\dots,(p-2) \times a,(p-1) \times a \right\}\)，即 \(A_i = i \times a\)
因为已知 \(\gcd(a,p)=1\)
所以易得在 \(A\) 中的任意两个元素不在模 \(p\) 意义下同余。
而且因为 \(A\) 中所有元素不与 \(0\) 同余，
所以 \(A\) 中元素必然在模 \(p\) 意义下分别与 \(a,2,3,\dots,p-2,p-1\) 同余。
把这些同余式乘起来，得到：$$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1) \times a^{p-1} \equiv 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1) \pmod{p}$$
两边同时减去 \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1)\) 可得：$$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1) \times \left( a^{p-1}-1 \right) \equiv 0 \pmod{p}$$
因为前面这一串 \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1)\) 均不与 \(0\) 在模 \(p\) 意义下同余，所以 \(a^{p-1}-1\) 必然与 \(0\) 在模 \(p\) 意义下同余。
即 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)
得证。