乘法逆元学习笔记

乘法逆元和求法

基本的数论知识，有必要补一发。

开始之前

• 模运算：取余运算，比如 $a \bmod b$ 就是 $a$ 除以 $b$ 得到的余数。

• 性质：在加、减、乘、乘方的运算过程中，进行取余运算，不会对结果产生影响。

• 优先级：取余运算的优先级和乘法、除法的优先级相同，高于加减法的优先级。

• 互质：表示两个数的最大公约数为 $1$，表示为 $(x,y)=1$

• 同余（这个比较重要）： 对于整数 $m$，如果整数 $a,b$ 满足 $(a-b) \bmod m=0$，即 $(a-b) \div m$ 得到的是一个整数值，则称整数 $a$ 与 $b$ 对模 $m$ 同余，记作 $a\equiv b \pmod{m}$。

• 同余的性质：自反性、对称性、传递性、同加性、同乘性、同幂性等。

  • 自反性：$a \equiv a \pmod{p}$
  • 对称性：如果 $a \equiv b \pmod{p}$，则有 $b \equiv a \pmod{p}$
  • 传递性：如果 $a \equiv b \pmod{p} \ $ 且 $\ b \equiv c \pmod{p}$，则有 $a \equiv c \pmod{p}$
  • 同加性：如果 $a \equiv b \pmod{p}$ 则有 $a + c \equiv b + c \pmod{p}$
  • 同乘性：如果 $a \equiv b \pmod{p} \ $，则 $\ a \times c \equiv b \times c \pmod{p}$
    $\qquad \ \ \, \,$ 如果 $a \equiv b \pmod{p}$ 且 $c \equiv d \pmod{p}$ 则有 $a \times c \equiv b \times d \pmod{p}$
  • 同幂性：如果 $a \equiv b \pmod{p}$ 则有 $a^n \equiv b^n \pmod{p}$

问题背景

求解 $\dfrac{a}{b} \bmod p$ 的值，因为不能先对 $a,b$ 取模再相除，所以引入了逆元。

逆元可以理解为 $\bmod p$ 意义下 $b$ 的倒数。
假设 $inv_b$ 为 $b$ 的逆元，则有 $$inv_b \times b \equiv 1 \pmod{p}$$
即 $\left( inv_b -1 \right) \bmod p =0$

性质

第一个性质

$$\dfrac{a}{b} \equiv a \times inv_b \pmod{p}$$

证明：

$$\because b \times inv_b \equiv 1 \pmod{p}$$

$$\therefore \left( b \times inv_b -1 \right) \bmod p =0$$

$$\because x \bmod p= x \times y \bmod p$$

$$\therefore \dfrac{a}{b} \times (b \times inv_b -1) \bmod p =0$$

$$\therefore (a \times inv_b - \dfrac{a}{b}) \bmod p =0$$

$$\therefore \dfrac{a}{b} \equiv a \times inv_b \pmod{p}$$

得证。

唯一性

性质

每个数的逆元唯一。

证明

假设 $b$ 有两个逆元 $x,y$。
则可知 $a \times x \equiv a \times y \pmod{p}$

$$\therefore \left(a \times \left( x - y \right) \right) \bmod p =0$$

$$\because a \bmod p \ne 0$$

$$\therefore x=y$$

所以每个数的逆元唯一。

逆元求法：

快速幂

这个做法的基础是费马小定理：

若 $p$ 为质数，$a$ 为正数，且 $(a,p)=1$，则有 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$。

根据逆元的定义 $inv_a \times a \equiv 1 \pmod{p}$ 可知： $$\because inv_a \times a \equiv a^{p-1} \pmod{p}$$

$$\therefore inv_a \equiv a^{p-2} \pmod{p}$$

也就是说，一个数 $i$ 在模 $p$ 意义下的逆元就是 $i^{p-2} \bmod p$。
用快速幂计算即可。

int x,p;
int ksm(int a,int b){int s=1,t=a;while(b){if(b&1)s=(s*t)%p;t=(t*t)%p;b>>=1;}return s;}
int main(){cin>>x>>p;cout<<ksm(x,p-2)<<endl;}

线性求逆元

也就是Luogu P3811【模板】 乘法逆元

对于一个数 $k$，找到一个 $inv_k$ 使得 $k \times inv_k \equiv 1 \pmod{p},k \in \left[ 1,n \right]$

首先，设 $$p=a \times k + b,b \times inv_b \equiv 1 \pmod{p}$$
把 $b$ 给换掉： $$(p - a \times k) \times inv_b \equiv 1 \pmod{p}$$
通过乘法分配率可以得到： $$p \times inv_b - a \times k \times inv_b \equiv 1 \pmod{p}$$
因为 $p \times inv_b$ 里面有 $p$ 这一项，所以可以直接消掉，得到： $$- a \times k \times inv_b \equiv 1 \pmod{p}$$
把 $a,b$ 都用 $k,p$ 表示可得： $$- \ \left\lfloor\dfrac{p}{k}\right\rfloor \times k \times inv_{p \ \bmod k} \equiv 1 \pmod{p}$$
因为 $k \times inv_k \equiv 1 \pmod{p}$，且同余具有同乘性，所以左右同乘 $inv_k$ 可得 $$- \left\lfloor\dfrac{p}{k}\right\rfloor \times inv_{p \bmod k} \equiv inv_k \pmod{p}$$
有个负号，而左边加上 $p \times inv_{p \bmod k}$ 对结果无影响同时能消掉负号： $$\left(p- \left\lfloor\dfrac{p}{k}\right\rfloor \right) \times inv_{p \bmod k} \equiv inv_k \pmod{p}$$
得出结论：设 $inv_i$ 是 $i$ 的逆元，则有递推式： $$inv_i \equiv \left(p- \left\lfloor\dfrac{p}{i}\right\rfloor \right) \times inv_{p \bmod i} \pmod{p}$$
写成代码就是： for(int i=2;i<=n;i++)ans[i]=(p-p/i)*ans[p%i]%p;
code：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;int ans[6000000],n,p;
signed main(){
	cin>>n>>p;ans[1]=1;/*初始化*/
	for(int i=2;i<=n;i++)ans[i]=(p-p/i)*ans[p%i]%p;/*线性求逆元*/
	for(int i=1;i<=n;i++)cout<<ans[i]<<endl;return 0;
}