权值线段树学习笔记 Part 1

权值线段树

就是以下标为值域的一棵线段树。

定义

引用一下这篇日报中的例子：
假设用权值线段树维护一个数组： \(\left\{ 1,1,2,2,2,3,4,5,6,7,8 \right\}\)

初始权值线段树时所有节点为 0

插入数组中的 1 后

插入数组中的 2 后

全部插入后

时间复杂度

因为权值线段树也是一棵线段树，所以每次操作的复杂度还是 \(\log\) 级别的，也就是 \(\log l\)（\(l\) 表示其中的最大权值，因为线段树是开在值域上的）。
如果没有动态开点的话，空间复杂度就是正常的 \(O(4 \times l)\)，因此一般情况下权值线段树要进行离散化。

操作

插入一个数

void update(int num,int p=1,int l=1,int r=n){
    if(num>r||num<l)	return;
    //按这个数的大小左右二分,最多Logn次就到叶节点,所以每次修改的时间复杂度为O(logn)
    sgt[now]++;//可以直接修改
    if(l==r)   return;
    Updata(num,L);Updata(num,R);
}

查询第 \(k\) 大的数

int query(int num,int p=1,int l=1,int r=n){
    if(l==r)//到叶节点说明找到了
        return left;
    if(s[lc].v>=num)
        return query(num,L);//如果在左子树就往左子树找
    return query(num-s[lc].v,R);//不在就往右子树找
}