离散化

离散化

赶紧胡一篇出来，免得到时候出锅。
毕竟离散化是权值线段树学习的基础。

定义

把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以此提高算法的时空效率。
\(\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\) ————百度百科

原理

简单来说，给出 \(n(n \le 10^5)\) 个数字 \(a_i(a_i \le 10^9)\)，如果在这时建立权值线段树很明显会 \(MLE\)，所以将其离散化，也就是表示为这些数字的相对大小。
比如一个数组 \(\left\{ 1,34,6,14,8 \right\}\)
根据数字之间相对大小关系，离散化之后就是：

\[1 \Rightarrow 1 \]

\[6 \Rightarrow 2 \]

\[8 \Rightarrow 3 \]

\[14 \Rightarrow 4 \]

\[34 \Rightarrow 5 \]

实现

实现的过程要用到 \(STL\) 库中的 \(lower bound\) 这个好东西。
\(lower bound\) 的用处是：在给定的有序序列中找到第一个小于给定数的数的下标，这也就很好的起到了离散化的作用。

至于代码的实现，就是把所有数先全存在一个数组中，每次对于要提取的数，用 \(lower bound\) 即可。

n=R();
for(int i=1;i<=n;i++){
    a[i]=R(),t[i]=a[i];
}sort(t+1,t+1+n);
m=unique(t+1,t+1+n)-t-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
    a[i]=lower_bound(t+1,t+m+1,a[i])-t;
}

例题

Luogu P1496 火烧赤壁

给定一个白色数轴，每次将给定区间 \(\left[ a_i,b_i \right]\) 染成白色。多次染色效果相同 ，求最后染色区间总长度。

如果在 \(a_i,b_i\) 都很小的情况下，就可以用一个数组表示整个数轴，数组中的元素 \(f_i\) 表示的是长度为 \(1\) 的区间 \(\left[ i,i+1 \right]\) 是否被染色，然后模拟每个指令，枚举数组区间并对数组 \(f\) 赋值即可。
因为 \(a_i,b_i\) 均很大，所以要用到离散化。
因为题目中有用的数字不多，所以两个端点内点统一处理即可。
比如区间 \(\left[ -1,1 \right]\) 转化为 \(\left[ 1,2 \right]\) 染色，最后统计答案是将区间 \(\left[ 1,2 \right]\) 的长度记录为 \(2\) 即可。

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;int R(){
	int x=0;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);return x;
}void W(int x){if(x>9)W(x/10);putchar(x%10+'0');}const int N=2e4+10;
int n,a[N],b[N],f[N<<1],dt,ct,d[N<<1],x,y;long long c[N<<1],ans;
int main(){
	n=R();for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=R(),b[i]=R(),d[++dt]=a[i],d[++dt]=b[i];sort(d+1,d+1+dt);
	for(int i=1;i<=dt;i++)if(d[i]!=d[i-1]||i==1)c[++ct]=d[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x=lower_bound(c+1,c+ct+1,a[i])-c;
		y=lower_bound(c+1,c+ct+1,b[i])-c;
		for(int j=x;j<y;j++)f[j]=1;
	}for(int i=1;i<ct;i++)if(f[i])ans+=c[i+1]-c[i];cout<<ans<<endl;return 0;
}