欧拉函数、定理学习笔记

欧拉函数、定理学习笔记

欧拉函数

定义

所有小于等于 $x$ 的数中与 $x$ 互质的数的个数。
符号： $\varphi(x)$

通项公式

$p_i$ 表示 $x$ 的质因数，$n$ 表示 $x$ 的质因数个数。

$$\varphi(x) = x \prod_{i=1}^n \left( 1-\dfrac{1}{p_i} \right)$$

欧拉函数的性质

对于质数 $x$,$\varphi(x)=x-1$

若 $x$,$y$ 互质，则 $\varphi(x) \times \varphi(y) = \varphi(x \times y)$

这条性质属于积性函数，即任意满足有 互质 的数 $a,b$ 时，恒有 $f(a \times b) = f(a) \times f(b)$
（怎么证明我是真的不会，如果真想知道可以看下这个）

如果 $n$ 为奇数，则 $\varphi(n \times 2) = \varphi(n)$

因为 $n$ 为奇数，所以 $n$ 与 2 互质，且 $\varphi(2) = 1$，所以上式成立。

如果 $x$ 为质数，则$\varphi(x^k) = x^k - x^{k-1}$

因为与 $x^k$ 不互质的数只有 $x$ 的倍数，而 $x^k$ 中 $x$ 的倍数有 $x^{k-1}$ 个。

如果 $3 \le x$,则 $\varphi(x)$ 的值为偶数。

因为 $\gcd(x,n) = \gcd(n-x,n)$ ，更相减损术证明，与 $x$ 互质的数是成对存在的,且每一对中的两个数之和为 $x$。

$$\sum\limits_{i=1,(i,x)=1}^{x-1}i =\dfrac {\varphi(x) \times x} {2} (2 \le x)$$

通过上面的证明可知，每一对与 $x$ 互质的数的和为 $x$，总共有 $\dfrac {\varphi(x)}{2}$ 对。

$x = \sum\limits_{i|x} \varphi(i)$，即 $x$ 的因数(包括1和它自己)的欧拉函数之和等于 $x$。

这条性质又叫欧拉反演。
证明：
定义函数 $f(n)=\sum\limits_{i|n} \varphi(i)$
$f(n)$ 是积性函数，证明： $$f(n) \times f(m) = \sum_{i|n}\varphi(i) \times \sum_{j|m}\varphi(j) = \sum_{i|n} \sum_{j|m} \varphi(i) \varphi(j) = \sum_{i|n} \sum_{j|m} \varphi(i \times j) = \sum_{d|nm} \varphi(d) = f(nm)$$

$f(p^k) = \varphi(1) + \varphi(p) + \varphi(p^2) + \dots + \varphi(p^k) = 1 + (p-1)+(p^2-p)+ \dots +(p^k-p^{k-1}) = p^k$
$n=p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \dots \times p_m^{k_m}$
$f(n)=f(p_1^{k_1}) \times f(p_2^{k_2}) \times \dots \times p_m^{k_m} = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \dots \times p_m^{k_m} = n$

求欧拉函数

求单个数的欧拉函数

直接根据之前的通式 $\varphi(x) = x \prod_{i=1}^n \left( 1-\dfrac{1}{p_i} \right)$ 计算即可。
其中有以下几点细节：

• 如果以 $\sqrt n$ 为上界分解质因数之后得到的值不是 $1$，说明 $n$ 有一个大于 $\sqrt n$ 的质因数，要再进行一次计算。
• 对于通项公式中 $\left( 1-\dfrac{1}{p_i} \right)$ 这一项，在代码实现中将其转化为 $\dfrac{p_i-1}{p_i}$。

int phi(int x){
	int ans=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
		if(x%i==0){
			ans=ans/i*(i-1);
			while(x%i==0)x/=i;
		}
	if(x>1)ans=ans/x*(x-1);
	return ans;
}

预处理欧拉函数

以下用 $p_i$ 表示数字 $i$ 的欧拉函数值，即 $\varphi(i)$。

• $O \left( n \log_2 \left( \log_2 n \right) \right)$ 的筛法：

基本上不会被卡，而且比较好写的筛法。
先把所有 $p_i$ 初始化为 $i$。
对于当前枚举到的数 $i$，如果 $p_i=i$，那么 $i$ 为质数，并对之后包括 $i$ 在内的的倍数进行更新。
更新就是根据上面的通项公式，对于 $p_j$，就变为 $p_j \cdot \dfrac{i-1}{i}$

#define L(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);i++)
#define ll(i,j,k,l) for(int i=(j);i<=(k);i+=(l))
L(i,1,n) p[i]=i;
L(i,2,n) if(p[i]==i)
  ll(j,i,n,i) p[j]=p[j]/i*(i-1);

• $O(n)$ 的筛法：

预先规定：

• $s_i$ 表示筛出的第 $i$ 个质数。
• $f_i$ 表示数字 $i$ 的最小质因数。

参考筛素数的线性筛，当筛到数字 $i$ 时，小于 $i$ 的数的欧拉函数和小于 $i$ 的质数已经筛出，利用 $i$ 和 $s$ 向后更新。

对于数字 $i$，如果此时 $f_i=0$，说明这个数的最小质因数不会在 $\left[2,i-1\right]$ 的范围内出现，也易得数字 $i$ 是个质数，根据前一篇博客中写到的欧拉函数性质可知，此时 $\varphi(i)=i-1$

所以，如果数字 $i$ 为质数：

1. 将 $i$ 加入筛出的素数表。
2. $f_i=i$，质数的最小质因数是自身。
3. 更新 $p_i$ 的值为 $i-1$。

接下来，无论 $i$ 是否为质数，直接在素数表中枚举 $s_j$。

• 如果 $i \bmod s_j!=0$，可知 $(i,s_j)=1$，此时有 $$p_{i \times s_j} = p_i \times p_{s_j} = p_i \times (s_j - 1)$$
• 如果 $i \bmod s_j=0$，此时 $$p_{i \times s_j} = p_i \times s_j$$
• 同时更新 $$f_{s_j \times i} = s_j$$

证明：
$i \bmod s_j=0$ 时无法直接计算的原因是两个数不互质。
假设 $$i \times p_j = A \times p_j^{m-1} \times p_j = p_j^m$$
若 $x$ 是质数，$\varphi(x^k) = x^k-x^{k-1}$
因为 $$\varphi(i \times p_j) = \varphi(A) \times \varphi(p_j^m) = \varphi(A) \times \varphi(p_j^{m-1}) \times p$$
其中 $$A \times p_j^{m-1} = i$$
所以 $$\varphi(A) \times \varphi(p_j^{m-1}) = \varphi(i)$$
联立得 $$\varphi(i \times p_j) = \varphi(A) \times \varphi(p_j^{m-1}) \times p = \varphi(i) \times p_j$$
得证。
代码实现：

if(x==1)return 0;p[1]=1;
for(int i=2;i<n;i++){
    if(!f[i])s[++tp]=i,p[i]=i-1,f[i]=i;
    for(int j=1;j<=tp;j++){
	if(s[j]*i>n||s[j]>f[i])break;f[s[j]*i]=s[j];
	if(s[j]<f[i]) p[s[j]*i]=(s[j]-1)*p[i];
        else p[s[j]*i]=s[j]*p[i];
    }
}

欧拉定理

若 $\gcd(a,n)=1$，则 $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$$

证明：

从 1 到 $n$ 中，与 $n$ 互质的数为 $\varphi(n)$ 个，将这些数放入集合 $x$ 中，表示为 $x_1,x_2, \dots , x_{\varphi(n)}$。
再另外设一个集合 $m$,其中的元素 $$m_1 = a \times x_1$$ $$m_2 = a \times x_2$$ $$\dots \dots \dots$$ $$m_{\varphi(n)} = a \times x_{\varphi(n)}$$
接下来要证明两个推理。

• 集合 $m$ 中的任意两个数模 $n$ 的余数不同，即不存在 $m_a,m_b$ 满足 $m_a \equiv m_b \pmod{n}$

用反证法证明。
假设存在 $m_a,m_b$ 满足 $m_a \equiv m_b \pmod{n}$，即 $(m_a - m_b) \div n = k$
所以 $$m_a - m_b = n \times k$$
将集合 $m$ 中的数用集合 $x$ 中的数表示 $$a \times x_a - a \times x_b = n \times k$$
也就是 $$a \times (x_a - x_b) = n \times k$$
因为已知 $a$ 与 $n$ 互质，所以式子转化为 $$(x_a - x_b) \bmod n = 0$$
但是因为已知 $x_a,x_b < n$，即 $x_a - x_b < n$
所以上述式子均不成立，得证。

• 集合 $m$ 的数除以 $n$ 的余数都与 $n$互质。

首先已知 $m_i = a \times x_i$。
其次已知 $a$ 与 $n$ 互质，$x_i$ 与 $n$ 互质，所以 $m_i$ 也就是 $a \times x_i$ 与 $n$ 互质。
所以带入欧几里得算法（辗转相除法）中推一步就行。

$$\gcd(a \times x_i,n) = \gcd(m_i,n) = \gcd(n,m_i \bmod n) = 1$$

得证。

接下来开始推式子。
集合 $m$ 中的每个元素分别对应集合 $x$ 中的每个数同余。
因为第二个推理得到，$m$ 集合中的每个元素模 $n$ 的结果都与 $n$ 互质，这与 $x$ 中的数对应。
表示出来就是 $$m_i \equiv x_i\pmod{n}$$
由此可得 $$m_1 \times m_2 \times \dots \times m_{\varphi(n)} \equiv x_1 \times x_2 \times \dots \times x_{\varphi(n)} \pmod{n}$$
把集合 $m$ 中所有数都转换成集合 $x$ 中的数乘以 $a$ 的形式 $$a^{\varphi(n)} \times x_1 \times x_2 \times \dots \times x_{\varphi(n)} = x_1 \times x_2 \times \dots \times x_{\varphi(n)} \pmod{n}$$
移项可得 $$(a^{\varphi(n)}-1) \times x_1 \times x_2 \times \dots \times x_{\varphi(n)} \equiv 0 \pmod{n}$$
因为上面式子中的$x_1,x_2 \dots x_{\varphi(n)}$ 均与 $n$ 互质，所以相乘的结果也与 $n$ 互质。
所以 $$a^{\varphi(n)}-1 \equiv 0 \pmod{n}$$
即 $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$$
Q.E.D