离散数学图论部分总结

图论内容总结

前言：

图论这一部分内容可谓离散数学的点睛之笔，离散数学很多堆砌的概念在这章似乎都活过来了（可能是因为我刷算法题的原因），概念之间的联系更加的紧密。
学完图论部分我感觉里面很多的知识点都非常重要，比如顶点度数，握手定理，树，而考点的话除了这些，还有求欧拉回路，最短路径问题，最小生成树（求前缀码）等等。

目录：

  1. 图的基本概念
  2. 欧拉图和哈密顿图
  3. 树
  4. 代码实现相关算法或证明

Part1:图的基本概念

一.基础概念：

  1. 无序对和无序积:集合A&B={(a,b)|a∈A,b∈B},(a,b)=(b,a)
  2. 图:一个序偶<V,E>,V是结点集，E:边集，E中每个元素都有V中的结点对与之对应称之边。
  3. 零图: G= (VE)中，顶点总数记做|V,变数记做E。如果边数较少，称为稀疏图。一条边也没有的图称为零图。仅有一个顶点的图称为平凡图，平凡图比为零图。
  4. 无向图:G=,其中定点V是非空有穷集合，其元素称为顶点;边集E为V&V的多重子集，其元素称为无向边(不限定边的方向)，简称边。
  5. 有向图:D=<V,E>。D的基图:用无向边替代有向边
  6. 性质:V(G),E(G),V(D),E(D):G和D的顶点集，边集
    • n阶图: n个顶点的图
    • 零图:E= ∅
    • 平凡图:—阶零图。
    • 空图:V= ∅
  7. 顶点和边的关联关系：
    设e=(u,v)是无向图G=(V,E)的一条边，称u, v为e的端点，e与u(v)关联，若u≠v,则称e与u(v)关联次数为1;若u=v,则称e为环，此时称e与u的关联次数为2;若w不是e端点，则称e与w的关联此时为0，无边关联的顶点称作孤立点。
  8. 顶点的度数:
    设G=<V,E>为无向图,v∈V，v的度数(度)符号d(v)/deg(v):顶点v关联的边数称为该顶点的度数。若v有环，计算度数d(v)增加2;
    有向图的度数：

图示：

  1. 图论定理-握手定理
    任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于变数的2倍，并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数

  2. 多重图和简单图

    • 在简单图中，如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。
    • 含有平行边的图称为多重图
    • 既无平行边也无环的图称为简单图

  3. 图的同构：

    • 定义省略
    • G1与G2同构的充要条件:G与G的顶点和边分别存在一一对应且保持关系。

  4. 完全图:设含n个顶点的简单无(有)向图G=<V，E>中

    • n阶无向完全图Kn :每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图
    • n阶有向完全图:每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图
      例题：

  5. 子图与补图：

  6. 自补图：G与G的补图同构，则称自补图。

  7. 正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图

  8. 通路与回路：

    • 若通路中所有顶点各异，则称T为初级通路，若初级通路的起点和终点相同时，又称T初级回路。
    • 若通路中所有边各异，则称T为简单通路，若简单通路的起点和终点相同时，又称T简单回路

  9. 无向图的连通性：

    • u与v连通:若u与v之间有通路，规定u与自身总连通
    • 连通关系:R={<u,v>|u,v ∈V且u~v}是V上的等价关系
    • 连通图:任意两点都连通的图，平凡图是连通图
    • 连通分支：设无向图G=<V,E>,Vi是V关于顶点之间的连通关系~的一个等价类，称导出子图G[Vi]为G的一个连通分支.G的连通分支数记作p(G).

  10. 强连通图与弱连通图：在简单有向图G中，任何一对顶点之间至少有一个顶点到另外一个顶点是可达的，则称图是单侧联通的。如果对于图G中任何一对顶点，两者之间两者都是相互可达的，责成这个图是强联通的。如果在图G中，略去边的方向，将他看成无向图后，图是联通的，则称为弱联通的;

  11. 有向图的连通性：设有向图D=<V,E>

    • u可达v：u到v有通路，规定u到自身总是可达的。可达具有自反性和传递性

  12. 点割:设无向图G=为联通图，对任意的顶点w∈ V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点;

  13. 点割集:设无向图G=为连通图，若存在点集V1属于V，当删除中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的;而删除了V1的任何真子集V及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集

  14. 设无向图G=为连通图，任意边e ∈ E,若删除e后无向图不再联通，则称e为割边，也成为桥

  15. 边割集:略

  16. ** 图的矩阵表示**

    • 无向图的关联矩阵：（点与边的关联次数）

    性质：图中每一行之和代表顶点度数

    • 有向图的关联矩阵：

    性质：图中每一行绝对值之和代表顶点度数

    • 有向图的邻接矩阵（顶点到顶点的权重或边数）：

    性质：对角线之和为回路个数，n次幂就意味着回路的距离为n
    值不为0则表示可达
    例题：

Part2:欧拉图与哈密顿图

一.基本概念：

  1. 通过图中所有边一次且仅一次的通路称作欧拉通路.

  2. 通过图中所有边一次且仅一次的回路称作欧拉回路.

  3. 具有欧拉回路的图称作欧拉图.

  4. 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称作半欧拉图.

  5. 判定定理：无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图且没有奇度顶点.

  6. 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通图的且每个顶点的入度等于出度.
    例题：

  7. 经过图中所有顶点一次且仅一次的通路称作哈密顿通路.

  8. 经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称作哈密顿回路.

  9. 具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称作半哈密顿图.

  10. 具有哈密顿回路的图称作哈密顿图.

  11. 充分条件：
    a)设G是n阶无向简单图，若对于G中任意不相邻的顶点u,v，均有d(u) +d(v)≥n-1，则G中存在哈密顿通路.
    b)设G是n(n≥3)阶无向简单图，若对于G中任意不相邻的顶点u,v，均有d(u) +d(v)≥n,则G中存在哈密顿回路.满足说明是哈密顿图，不满足则不能说明不是哈密顿图.

  12. 最短路径问题：


Part3:树

  1. 树：连通且不含回路的图。
    ps:平凡图也为树
  2. 叶：树中度为 1 的结点。
  3. 枝点（内点）：树中度大于 1 的结点。
  4. 森林：每个连通分支都是树的图。
  5. 树的性质：
    • T连通且无回路;
    • T无回路且m = n -1 ;
    • T连通且m = n - 1 ;
    • T无回路但新增加任何一条边（端点属于T）后有且仅有一个回路;
    • T连通，但是删去任何一边后便不再连通;
    • T的每一—对结点之间有且仅有一条道路可通。
  6. 生成树：
    1. 生成树:给定图G<V,E>，若G的某个生成子图是树，则称其为该图的生成树，记为TG.生成树中的边称为树枝，G不在TG中的边称为弦，称T的所有弦的导出子图为T的余树
    2. 一个图具有生成树的充分必要条件是该图是连通的
  7. 求生成树的算法
    对于图G<V,E >，|V|=n,|E|=m
    1. 破圈法:每次删除回路中的一条边，删除边的总数量为m -n＋1
    2. 避圈法:每次选取G中一条与已选取的边不构成回路的边，共选取n一1条3.
  8. 最小生成树
    • 生成树中树枝的权值之和记为w(T)
    • 连通加权图里的最小生成树是具有边的权之和最小的生成树
    • 连通加权图的最小生成树不唯一
  9. 求最小生成树的算法
    • 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法:重复选择G中权最小的任一边并且加入到T中不形成简单回路，将其加入到最小生成树T中，重复n一 1次即可（常用）
  10. 根树：
    • 有向树:一个有向图，略去图中所有的有向边的方向得到的无向图如果是一棵树，则称其为有向树
    • 有孩子的顶点称为内点，根是内点除非它是图中唯一的顶点，也即入度为1出度大于0的顶点称为内点，内点和根统称为分支点
    • 在根树中，从根到任一结点的通路的长度称为该结点的层数。所有顶点的最大层数称为树高。
  11. 设T为根数，若将T中层数相同的顶点都标定次序，则称T为有序树。
  12. r叉树：若T每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉树
  13. 若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树
  14. 若T的每个分支点都恰好有r个儿子，则称T为r叉正则树；又若T是有序的，则称它为r叉正则有序树。
  15. 若T是r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高，则称T为r叉完全正则树。
  16. 权：树的权指的树中的结点被赋予的一个有某种意义的数,这个数我们就称它为权.
  17. 带权w1,w2...wi的2叉树中，权最小的2叉树称作最优2叉树。

应用：
最佳前缀码问题：

设7个字母在通信中出现的频率如下：

 a：35%        b：20%        

 c：15%        d：10%

 e：10%        f：5%

 g：5%

用Huffman算法求得的最佳前缀码传输100 个按上述比例出现的字母组成的字符串需要____bit。

答案：255

Part4:代码实现某些证明：

  • 给定一个无向简单图，输出该图的邻接矩阵，根据邻接矩阵输出每个顶点度数，验证握手定理，并判定该图是否为树。
`#include<stdio.h>
`#include<stdlib.h>
`#define MAX 20
typedef int VexType;
typedef VexType Mgraph[MAX][MAX];
Mgraph G1,G2,G3,G4,G7;
int n, e;
int dingdiandushu[MAX];
void reckonMap(Mgraph G5,Mgraph G6) {
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int k = 1; k <= n; k++)
		{
			int sum = 0;
			for (int j = 1; j <= n; j++) {
				sum += G5[i][j] * G6[j][k];
			}
			G7[i][k] = sum;
		}
	}
}
void creat_mg(Mgraph G)
{
	int i, j, k;
	printf("\n请输入无向图的顶点数和边数，如：6，5：");
	scanf("%d %d", &n, &e); //输入顶点数n，边数e 
	//初始化无向图。
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (j = 1; j <= n; j++)
		{
			//当顶点之间不存在边时，将其对应的矩阵中的值置为1 	
			G[i][j] = 0;
			G2[i][j] = 0;
			G3[i][j] = 0;
			G4[i][j] = 0;
			G7[i][j] = 0;
		}
	}
	printf("\n初始化完成！\n");
	for (k = 1; k <= e; k++)
	{
		printf("\n请输入每条边的两个顶点编号，如：2，5：");
		scanf("%d %d", &i, &j);
		//无向图的矩阵是对称矩阵 
		G[i][j]++;
		G[j][i]++;
		G2[i][j]++;
		G2[j][i]++;
		//有向图只有一方
		G3[i][j]++;
		G4[i][j]++;
	}
	printf("\n完成无向图的创建！\n");
}
void output_mg(Mgraph G)
{
	int i, j;
	printf("\n输出无向图的邻接矩阵！\n");
	//像输出二维数组一样输出无向图 
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		printf("\n");
		for (j = 1; j <= n; j++)
		{
			printf("%5d", G[i][j]);
		}
	}
	printf("\n");
	printf("\n完成无向图的输出！\n");
}

int main()
{
	creat_mg(G1);
	output_mg(G1);
	//每个顶点的度数
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			dingdiandushu[i] += G1[i][j];
		}
		printf("顶点%d 度数为%d\n", i, dingdiandushu[i]);
		sum += dingdiandushu[i];
	}
	//验证握手定理
	printf("度数之和：%d\n", sum);
	printf("边的个数：%d\n", e);
	printf("因为度数之和等于边的个数的两倍，故得证握手定理");
	//考虑到这是无向图的邻接矩阵，不能通过幂积得到回路情况
	//故将无向图转化为有向图，再取n次幂，只要对角线上有大于0的值，说明它就不是树。
	output_mg(G3);
	sum = 0;//对角线个数和
	for (int i = 0; i <= 100; i++)
	{
		reckonMap(G3, G4);
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= n; j++) {
				G3[i][j] = G7[i][j];
				G4[i][j] = G7[i][j];
			}
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			sum += G7[i][i];
		}
	}
	if (sum == 0&&n==e+1) {
		printf("因为无向图中没有回路，且顶点数等于边数+1,所以该图为树");
	}
	else
		printf("该图非树");
}
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