齐次坐标

齐次性的定义和齐次坐标系的定义: https://www.cnblogs.com/xin-lover/p/9486341.html

齐次坐标无穷远点表示及齐次性的理解: https://blog.csdn.net/janestar/article/details/44244849

齐次坐标变换: https://blog.csdn.net/zx3517288/article/details/79154036

https://zhuanlan.zhihu.com/p/258437902

齐次坐标优势: https://zhuanlan.zhihu.com/p/46292266

齐次坐标下点和向量的表示: https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html

1 问题引出：两条平行线可以相交于一点
在欧氏几何空间，同一平面的两条平行线不能相交，这是我们都熟悉的一种场景。
然而，在透视空间里面，两条平行线可以相交，例如：火车轨道随着我们的视线越来越窄，最后两条平行线在无穷远处交于一点。

欧氏空间（或者笛卡尔空间）描述2D/3D几何非常适合，但是这种方法却不适合处理透视空间的问题（实际上，欧氏几何是透视几何的一个子集合），2维笛卡尔坐标可以表示为（x,y）。

如果一个点在无穷远处，这个点的坐标将会(∞,∞)，在欧氏空间，这变得没有意义。平行线在透视空间的无穷远处交于一点，但是在欧氏空间却不能，数学家发现了一种方式来解决这个问题。

2 什么是齐次坐标？

简而言之，齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标
我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标，因此，一个点(X,Y)在齐次坐标里面变成了（x,y,w），并且有

X = x/w

Y = y/w

例如，笛卡尔坐标系下（1，2）的齐次坐标可以表示为（1，2，1），如果点（1，2）移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为(∞,∞)，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），因为(1/0, 2/0) = (∞,∞)，我们可以不用”∞"来表示一个无穷远处的点了，哈哈。

3 齐次的含义

我们把齐次坐标转化为笛卡尔坐标的方法是前面n-1个坐标分量分别除以最后一个分量即可。

转化齐次坐标到笛卡尔坐标的过程中，我们有一个发现，例如：

你会发现(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)对应同一个Euclidean point (1/3, 2/3)，任何标量的乘积，例如(1a, 2a, 3a) 对应笛卡尔空间里面的(1/3, 2/3) 。因此，这些点是“齐次的”，因为他们代表了笛卡尔坐标系里面的同一个点。换句话说，齐次坐标有规模不变性。

证明：两条直线可以相交

考虑如下方程组：

我们知道在笛卡尔坐标系里面，该方程组无解，因为C ≠ D,如果C=D,两条直线就相同了。

让我们在透视空间里面，用齐次坐标x/w, y/w代替x ,y,

现在我们有一个解(x, y, 0)，两条直线相交于(x, y, 0)，这个点在无穷远处。

4 为什么需要齐次坐标

最主要的目的是方便计算机图形学进行仿射几何变换。简单的理解就是可以使用矩阵同时描述旋转和平移，这样我们就可以使用矩阵相乘来表述物体的旋转、缩放和平移了

齐次坐标的使用能够大大简化在三维空间中的点线面表达方式和旋转平移等操作，具体分如下几点进行说明。

1、能否非常方便的表达点在直线或平面上

在2D平面上，一条直线 l 可以用方程 ax + by + c = 0 来表示，该直线用向量表示的话一般记做

我们知道点p = (x, y)在直线 l 上的充分必要条件是 ax + by + c = 0

如果使用齐次坐标的话，点p的齐次坐标就是

p'=(x, y, 1)

那么 ax + by + c = 0 就可以用两个向量的内积（点乘）来表示：

因此，点p在直线l上的充分必要条件就是直线l 与p的齐次坐标p'的内积：

是不是很方便呢！

同理，我们知道三维空间的一个平面A可以用方程 ax + by + cz + d = 0 来表示，三维空间的一个点P=(x, y, z) 的齐次坐标 P'=(x, y, z, 1)，类似的，点P在空间平面A上可以用两个向量的内积来表示，如下：

因此，点P在平面A上的充分必要条件就是平面A 向量与P的齐次坐标P'的内积（点乘）：

2、方便表达直线与直线，平面与平面的交点

先给出结论，后面再具体解释：

结论：在齐次坐标下，可以用两个点 p, q 的齐次坐标叉乘结果来表达一条直线 l，也就是

l = p x q

也可以使用两条直线 l, m 的叉乘表示他们的交点 x

x = l x m

见下面示例图。

之所以可以这么简洁的表示交点是因为采用了齐次坐标的表示方式。

那么这是为什么呢？

先介绍一下叉乘（也称叉积、外积）的概念：

两个向量 a和b 的叉乘仅在三维空间中有定义，写作 a x b

a x b 是与向量 a, b都垂直的向量，其方向通过右手定则（见下图）决定。

其模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积（见下图）。

叉乘可以定义为：

其中 θ表示a, b的夹角（0°到180°之间），||a||, ||b||是向量a, b的模长

n则是一个与向量a, b所构成的平面垂直的单位向量

根据叉乘定义：

向量自身叉乘结果为0，因为夹角为0。也就是说三维向量 a x a =0, b x b = 0而点乘（也称点积，内积）的定义是

a * b = ||a||* ||b|| *cos(θ)

根据定义：如果两个向量垂直，cos(θ) = 0，点积也为0。

好了，经过上面点乘和叉乘定义的铺垫。下面来推导一下上面的结论：

为什么两条直线 l, m 的叉乘 l x m 等于它们的交点 p，也就是 p = l x m？

原因如下：首先，根据前面叉乘的定义，l x m 的结果向量（记为 p = l x m）与 l 和 m都垂直，根据点乘的定义，垂直的向量之间的点积为0，因此可以得到：

因此，根据前面点在直线上的结论，可以看到p既在直线l 上又在直线m上，所以 p = l x m 是两条直线的交点。此处 p 是齐次坐标。

同样的，可以证明，两点p, q 的叉乘可以表示过两点的直线l，即 l = p x q。（留做作业）

3、能够区分一个向量和一个点

先给出结论：

(1)从普通坐标转换成齐次坐标时

如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);

如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)

(2)从齐次坐标转换成普通坐标时

如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);

如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)

“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”—— F.S. Hill, JR。

由于作者对齐次坐标真的解释的不错，我就原封不动的摘抄过来：

对于一个向量 v 以及基oabc，可以找到一组坐标(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c （1）

而对于一个点 p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c （2），

从上面对向量和点的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个点（如p），我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量——p – o（有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)

(1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式。这里可以看出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达(1, 4, 7)，谁知道它是个向量还是个点！

我们现在把（1）（3）写成矩阵的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)

p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：3D向量的第4个代数分量是0，而3D点的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。

这样，上面的(1, 4, 7)如果写成（1,4,7,0），它就是个向量；如果是(1,4,7,1)，它就是个点。下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换：

(1)从普通坐标转换成齐次坐标时

如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);

如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)

(2)从齐次坐标转换成普通坐标时

如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);

如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)

以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知，对于平移T、旋转R、缩放S这3个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普通向量没有位置概念，只有大小和方向.

而旋转和缩放对于向量和点都有意义，你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出，齐次坐标用于仿射变换非常方便。

此外，对于一个普通坐标的点P=(Px, Py, Pz)，有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z乘上同一个非零数w，然后增加第4个分量w；如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把前三个坐标同时除以第4个坐标，然后去掉第4个分量。