【背包问题】

【01背包】

描述：给定物品总数\(n\)，背包承重能力\(m\)，物品价值\(v[i]\)，物品重量\(w[i]\)，求满足不超过背包承重能力的物品最大价值，每种物品只有一件。
解法：
设\(f[j]\)表示物品总重为\(j\)时，物品的最大总价值。
那么转移方程为

for(int i=1;i<=n;++i){//枚举物品
	for(int j=m;j>=w[i];--j){//枚举物品总重
	    f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
	}
}return f[m];

正确性：每次转移时\(f[j-w[i]]\)尚未被物品\(i\)尝试更新，故每个状态最多被当前物品更新一次。

【完全背包】

描述：给定物品种类数\(n\)，背包承重能力\(m\)，物品价值\(v[i]\)，物品重量\(w[i]\)，求满足不超过背包承重能力的物品最大价值，每种物品有无限件。
解法：
设\(f[j]\)表示物品总重为\(j\)时，物品的最大总价值。
那么转移方程为

for(int i=1;i<=n;++i){
	for(int j=w[i];j<=m;++j){
		f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
	}
}return f[m];

正确性：每次转移时\(f[j-w[i]]\)已经被物品\(i\)尝试更新，故每个状态会被物品尽可能多地更新（填满为止）。

【多重背包】

描述：给定物品种类数\(n\)，背包承重能力\(m\)，物品价值\(v[i]\)，物品重量\(w[i]\)，求满足不超过背包承重能力的物品最大价值，每种物品有\(c[i]\)件。
解法：
设\(f[j]\)表示物品总重为\(j\)时，物品的最大总价值。
那么转移方程为

for(int i=1;i<=n;++i){
    for(int k=1;k<=c[i];++k){
        for(int j=m;j>=w[i];--j){
            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
}return f[m];

正确性：每种物品都以01背包的方式尝试更新了\(c[i]\)件。

【多重背包的优化】

①二进制优化
将多重背包拆分成\(\log c[i]\)块使得这些块的组合能表达\(1~c[i]\)所有的数值。

for(int i=1;i<=n;++i){
	scanf("%d%d%d",&v[0],&w[0],&c[0]);
    for(int j=1;j<=c[0];j<<=1){
        v[++cnt]=v[0]*j;
        w[cnt]=w[0]*j;
        c[0]-=j;
    }if(c[0]) v[++cnt]=v[0]*c[0],w[cnt]=w[0]*c[0];
}for(int i=1;i<=cnt;++i){
    for(int j=m;j>=w[i];--j){
        f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
    }
}return f[m];

②单调队列优化
这个会了二进制优化就没必要学了吧，背包问题用这个优化不了多少。

【分组背包】

描述：给定物品个数\(n\)，背包承重能力\(m\)，物品价值\(v[i]\)，物品重量\(w[i]\)，求满足不超过背包承重能力的物品最大价值，每种物品属于\(c[i]\)组，每组物品中只能选一个。
解法：
设\(f[j]\)表示物品总重\(j\)时，物品的最大总价值
那么转移方程为

int x,p[MAXC][MAXN];
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&x),p[x][++p[x][0]]=i;
for(int i=1;i<=MAXC;++i){
    for(int j=m;j>=0;--j){
        for(int k=1;k<=p[i][0];++k){
            if(w[p[i][k]]<=j) f[j]=max(f[j],f[j-w[p[i][k]]]+v[p[i][k]]);
        }
    }
}

正确性：每个组别的每件物品在互相冲突的前提下进行更新。

泛化物品

描述：\(v[i]\)与\(w[i]\)成函数关系。
解法：按照分组背包方式枚举\(w[i]\)求解即可。

混合背包

描述：每种物品可能可以多次使用，也可以只有一个，有的可以无限使用，有的\(v[i]\)与\(w[i]\)成函数关系。
解法：分类讨论即可。