生成函数

留个坑慢慢填

概念

生成函数——用多项式表示数列的形式幂级数，其中函数的\(i\)次项系数对应数列的第\(i\)项

即\(A \to \sum_{i=0}^{\infty} a_ix^i\)

例如：

$[1,1,1,1,1,...] \to 1+x+x^2+x3+x^4+ ... $

\([1,a,a^2,a^3,a^4,...] \to 1+ax+a^2x^2+a^3x^3+a^4x^4+...\)

由于我们只是用多项式来表示这个数列，而不关心其是否收敛，所以我们可以直接用数列求和的封闭形式来代替该多项式

例如：

\([1,1,1,1,1,...] \to \sum_{i=0}^{\infty} x^i=\frac{1}{1-x}\)

\([1,a,a^2,a^3,a^4,...] \to \sum_{i=0}^{\infty} a^ix^i = \frac{1}{1-ax}\)

操作

生成函数拥有多项式的一般性质

设\(A \to F(x),B \to G(x)\)

则有：

\(cA \to cF(x)\)

\(A+B \to F(x)+G(x)\)

\(A>>k \to x^kF(x)\)

\(A<<k \to \frac{F(x)}{x^k}\)

设\(D(A) \to \sum_{i=0}^{\infty} ia_ix^i\)

则\(D(A) \to xF'(x)\)