任务安排（斜率优化模板题）

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任务安排##

　　Time Limit: 1 Sec
　　Memory Limit: 162 MB

Description###

　　N个任务排成一个序列在一台机器上等待完成（顺序不得改变），这N个任务被分成若干批，每批包含相邻的若干任务。从时刻0开始，这些任务被分批加工，第i个任务单独完成所需的时间是Ti。在每批任务开始前，机器需要启动时间S，而完成这批任务所需的时间是各个任务需要时间的总和（同一批任务将在同一时刻完成）。每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数Ci。请确定一个分组方案，使得总费用最小。
　　

Input###

　　第一行是N(1<=N<=5000)。
第二行是S(0<=S<=50)。
下面N行每行有一对数，分别为Ti和Ci，均为不大于100的正整数，表示第i个任务单独完成所需的时间是Ti及其费用系数Ci。
　　

Output###

　　一个数，最小的总费用。
　　

Sample Input 1###

　　5
　　1
　　1 3
　　3 2
　　4 3
　　2 3
　　1 4
　　

Sample Output 1###

　　153
　　

HINT###

　 1<N<=5000
　 1<=S<=50
　 1<=Ti Ci<=100
　　
　

题解：

　　 　　
　　写出1D/1D动规方程:
　　\(f[i]=Min(f[j]+sumt[i]*(sumc[i]-sumc[j])+s*(sumc[n]-sumc[j]))\)
　　移项得 $$f[j]=(s+sumt[i])sumc[j]-sumt[i]sumc[i]-s*sumc[n] $$
　　把f[j]当作y,sumc[j]当作x (x单调递增)
　　设 j1<j2<i。则j2更优，当且仅当 f[j2]-f[j1]/(sumc[j2]-sumc[j1])<=s+sumt[i]
　　设g(a,b)(a<b) 为 a,b两点间的斜率
　　若 g(a,b)>g(b,c) (a<b<c)，则讨论发现b不可能为最优解
　　所以斜率必须单调递增且由于 s+sumt[i] 单调递增，被弹出元素不可能在为最优解
　　单调队列维护即可
　　
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AC代码

#include<cstdio>
typedef long long ll;
const int N=3e5+5;
int n,t,c,head,tail;
int q[N];
ll s,sumt[N],sumc[N],f[N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%lld",&s);
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d%d",&t,&c);
        sumt[i]=sumt[i-1]+t;
        sumc[i]=sumc[i-1]+c;
    }
    f[0]=0;
    head=tail=1; q[1]=0;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        while (head<tail && f[q[head+1]]-f[q[head]]<=(s+sumt[i])*(sumc[q[head+1]]-sumc[q[head]])) head++;
        f[i]=f[q[head]]+s*(sumc[n]-sumc[q[head]])+sumt[i]*(sumc[i]-sumc[q[head]]);
        while (head<tail && (f[q[tail]]-f[q[tail-1]])*(sumc[i]-sumc[q[tail]])>=(f[i]-f[q[tail]])*(sumc[q[tail]]-sumc[q[tail-1]])) tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
}