【今日爽文】重学wqs二分之我是方案构造者

引入：最小度限制生成树

将连接 $s$ 的边称为 白边。我们人为地控制“最小”生成树的白边数量，那么其权值一定先减小后增大。其中顶点为真正最小生成树的白边数量。

发现其有凹凸性，于是考虑 wqs 二分，具体如何操作不再详细说明，最终复杂度是 $O(n\log n+n\log W)$。

除此之外，题目还让我们判断无解。怎么判断呢？我们都知道最后二分出来的点不一定就是 $t$，而是长这样（不用在意为什么它是凸的）：

所以我们找到这里的 $l$ 和 $r$，看看是否有 $l\leq t\leq r$ 就行啦。

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接下来看下一道题：MST Company

它要求我们在上一道题的基础上输出方案。

“直接像上题一样解出答案，然后算一遍不就可以了吗？”

我该怎么保证一定有 $t$ 条白边而不是 $l$ 或者 $r$ 条？

“......”

接下来介绍一种方法：

先贴着 下界（$l$）做一次，算出哪些白边是一定要的（必要白边）。然后贴着 上界（$r$）做一次，算出最多有多少条白边。

定义 $f_i$ 为保证最小生成树的情况下，最多有多少条权值 $>i$ 的白边能在生成树中。$f_i$ 可以在贴上界的时候算出。

然后重新贴 下界（$l$）做一次，按边权从小到大加入。假设现在边权为 $i$，白边数量为 $now$，并且已经算了边权为 $i$ 的必要白边。那么只要 $now+f_i<t$，我就加一条边权为 $i$ 的非必要白边，知道无边可加或者 $now+f_i=t$。

容易知道，这样构造一定能构造出一种白边数量为 $t$ 的最小生成树。

注意前面要像上道题一样判无解。

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欢迎纠错与指正，但我并不保证我能完全理解以及回答你们的问题。

感谢 @jiqimao 及其博客。