NOIP2021 游记

Day -21 ~ -1

停课了，好开心o(￣▽￣)ブ

中间没有什么好说的，无聊的集训。

Day 0

跟同学颓废了几乎一天，意外地发现备考室电脑有 PVZ2，玩了一会。

下载了 MC 玩玩，然后专注于物理画线（

希望不要炸。

Day 1

吃过早餐就到考场了，密码忘了。

先看 T1，发现最大的数 $10^7$ 的后一位也才 $10^7+1$，所以想到了一个暴力的做法：把所有不符合条件的数筛出来，然后预处理下一个数是多少。

测了一下极限数据，感觉可以过，就没管了。

T2 没有任何思路，是我不会做的题，于是打了 50 分暴力滚了。

T3 更不会了，连差分的关键性质都没观察到，打了 12 分就滚了。

T4 感觉很可做，有大量部分分，于是开始莽。码了个类似 bfs 的东西，期望 44 分，但是第三个大样例没过，不会打暴力的我只能眼调。

后来的三个小时，我就一直对 T4 眼调，试小样例，重构了 3 次，到最后都没能调出来……

没什么好说的，这种垃圾游记还好意思写出来。

Day ？？？

果不其然，T4 炸了，100+50+12+0=162。

在同学们一个晚上的帮助下，发现了 T4 爆零的问题：数组没有初始化。

啊啊啊啊啊什么出题人会出这种 $n\times m$ 的题目啊。

不过我还是不知道为什么大样例没过。

压线一等。ZLT 194，ZTC 187，WCJ 168，都是大佬。

膜拜学长 LH 344 全省第一！！！

退役了。

Bonus

既然打的太烂了，我来补充一下中间两题的解法吧。

T2 在考试当天晚上就想出来了，也许我应该肝 T2。

考虑到 $n$ 不大，就算 $a_1=\cdots=a_n=m$，也只会对前 5 位产生影响。

按 $0 \sim m$ 的顺序决定要选多少个进到 $a$。设 $f_{i,j,k,l}$ 表示现在 $a$ 里面有 $i$ 个数，已经选完了 $0 \sim j$ 的数，对二进制 $j$ 位后 $5$ 位的影响为 $k$，目前 $1$ 的个数为 $l$ 的答案。

直接枚举转移即可，复杂度 $O(n^3m2^5)$。

T3 令 $d$ 为 $a$ 的差分数组，一次操作就相当于交换相邻两个 $d_i$。所以题目要求重排 $d$，使得方差最小。

化简一下方差的式子，得到 $S^2=n\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}-(\sum_{i=1}^{n}{a_i})^2$。

通过打表发现，最终答案的 $d$ 数组一定先递减后递增（证明有点麻烦），所以将 $d$ 数组从小到大排序，每次可以将 $d_i$ 往两边放，暴力做的时间复杂度为 $O(2^n)$。

用 $dp$ 优化求解过程，可以记录 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}$ 或 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_i}$ 来最小/大化另一个式子。因为 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_i}$ 会小一点，记录的空间会更小，所以选择这个。

设 $f_{i,j}$ 表示考虑到 $d_i$，目前 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_i}=j$，$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}$ 的最小值，转移方程推一推就出来了，时间复杂度 $O(n^2\max{a_i})$，无法通过最后一个 sub。

发现题目中的 $a_i$ 很小并且递增，所以有很多 $d_i$ 的值为 $0$。事实上，$d_i=0$ 时的转移是无用的，所以可以直接忽略，复杂度变为 $O(na_i\min(n,a_i))$，可以通过。

范围很奇怪，建议用滚动数组。一些奇怪的随机化做法也可以过。