ARC158 题解

简单场，但是我更降智。

A. +3 +5 +7 (700)

毛估估一下我们只会对最小值 \(+3\)，次小值 \(+5\)，最大值 \(+7\)。然后做完了，时间复杂度 \(\mathcal O(T)\)。

大概证明就是等价于一个数 \(-2\)，一个数 \(+2\)，设最终三个相同的数为 \(x\)，那每次操作必定也最多可以让 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}{|x_i-x|}\) 减 \(4\)。

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B. Sum-Product Ratio (1400)

首先令 \(x_i+x_j=a,x_ix_j=b\)，那么 \(\frac{x_i+x_j+x_k}{x_ix_jx_k}=\frac{a+x_k}{bx_k}=\frac{a}{b}\cdot\frac{1}{x_k}+\frac{1}{b}\)，确定了 \(x_i,x_j\) 后只需最小/最大化 \(\frac{1}{x_k}\) 即可。

而 \(\frac{x_i+x_j}{x_ix_j}\) 同样可以通过正负性讨论来求最小/最大值。为了避免臭长的分类讨论，可以分正负后把前三小，前三大拎出来做 \(n^3\) 暴力。

时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

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C. All Pair Digit Sums (1900)

考场上写了 3 个 log 过了，后来发现自己降智了

首先有 \(f(a_i+a_j)=f(a_i)+f(a_j)-9\times p\)，\(p\) 为 \(a_i+a_j\) 的进位次数。那么只需要对每个 \(a_i+a_j\) 数进位次数。

枚举 \(a_i\)，考虑有多少个 \(a_j\) 能让 \(a_i+a_j\) 在第 \(k\) 位进位，第 \(k\) 位进位相当于后面连续一段加起来是 \(9\)，然后接着一个 \(\geq 10\)。对所有 \(a_j\) 的后 \(k\) 位排序，满足条件的 \(a_j\) 一定是一段后缀。于是提前对每一位后面排序，枚举 \(a_i\) 和 \(k\) 即可用 lower_bound 算出 \(a_j\) 的个数。

时间复杂度 \(\mathcal O(n\log n\log V)\)。

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D. Equation (2900)

赛时看 D 比 E 过的人少就跳了，没想到如此简单

如果看到左边一堆括号就想拆，那你就输了。

假设现在有 \((x,y,z)\)，把它变成 \((kx,ky,kz)\)，那么左式会乘上 \(k^{3n+1}\)，右式会乘上 \(k^{3n}\)，刚好差一个 \(k\)！

所以可以直接随一组 \((x,y,z)\)，只要左式不为 \(0\) 就行。官方题解好像还证了为 \(0\) 概率不超过 \(\frac{1}{4}\)？不会证。

时间复杂度 \(\mathcal O(T\log p)\)。

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E. All Pair Shortest Paths (2600)

赛时想了个大粪做法，到结束了还没写出来

容易发现最优路径不可能会走过去再走回来，所以路径一定是从左到右然后中间有一些拐点的形状。

然后就是 CDQ 板题。\(dp\) 求出两边到中间的距离，然后合并。

具体怎么合并？左边到右边一定会穿过中间两条边之一（两条边即 \((mid,0) \rightarrow (mid+1,0)\) 和 \((mid,1) \rightarrow (mid+1,1)\)），那么最短路径长度大概是 \(\min(a_0+b_0,a_1+b_1)\) 的形式。假设 \(a_0+b_0 \leq a_1+b_1\)，那么相当于 \(a_0-a_1 \leq b_1-b_0\)，排序后求后缀和就行了。\(a_0+b_0 > a_1+b_1\) 同理。

时间复杂度 \(\mathcal O(n\log^2n)\)，足已通过，但题解好像有单 log 甚至线性做法。

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F. Random Radix Sort (3500)

一眼题？感觉赛时要是看 F 的话都做出来了。

考虑一个操作序列 \(\{k_1,\cdots,k_m\}\) 会对原序列产生什么影响。从后往前看，那么首先会把 \(A\) 按照第 \(k_m\) 位排序，\(k_m\) 位相同的再按照 \(k_{m-1}\) 位排序，以此类推。所以我们只关心每个 \(k_i\) 最后一次出现的位置，这组成一个子序列。

容易证明，假设操作序列有 \(p\) 个不同的数，那么每个子序列的出现概率为 \(\frac{1}{p!}\)。所以只需要对这个子序列计数。以下的操作序列均指这个子序列，且前后翻转。

先假设 \(A_i\) 互不相同，考虑 \(A_i\) 和 \(A_j(i<j)\) 在 \(m\) 次操作后会发生什么变化。对于一次 \(k\) 操作，如果 \(A_i\) 第 \(k\) 位比 \(A_j\) 小，我们将这次操作标记为 \(<\)，如果比 \(A_j\) 大就标记为 \(>\)，如果一样就标记为 \(=\)。

对于 \(=\) 类操作，显然不会对 \(A_i\) 和 \(A_j\) 产生任何变化；如果是 \(<\)，那 \(A_i\) 就会永远在 \(A_j\) 前面；\(>\) 号同理。

所以，如果 \(A_i\) 在 \(B\) 中还是在 \(A_j\) 前面，那么 \(>\) 号操作前必须要有一个 \(<\)（否则你 \(A_i\) 跑到后面去了）；如果在后面，那么 \(<\) 号操作前必须要有一个 \(>\)，并且最终序列不能全是 \(=\)。这相当于对每个位置有一个限制，表示前面必须要有某个集合 \(S\) 的一个数。这个限制是好刻画的，相当于前面的操作不能是 \(U\setminus S\) 的子集。

因为现在这个操作序列里的数互不相同，所以可以直接暴力状压 dp，每次往末尾新加一个数，并且要保证满足限制。时间复杂度 \(\mathcal O(n\log n+nk+k2^k)\)。

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