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Segment Tree Beats 学习笔记

前置知识：线段树

简要介绍

区间取 min/max 问题

先引入一个简单的问题：给定一个数列，你需要支持区间取 $\min$ ，区间求和。怎么做？

普通的线段树只能支持区间求和，不能支持区间取 $\min$ ，如果每次修改都暴力递归到叶子节点，时间复杂度就会爆炸。

显然有一个可行的剪枝：维护一下当前区间最大值，如果最大值比我要取 $\min$ 的那个数还要小，那就直接返回，不用继续递归。

进一步考虑，维护一下严格次大值。如果我要取 $\min$ 的那个数比最大值小，但是比次大值大，那我们就只修改最大值。这个应该很好实现，打个标记然后 pushdown 即可。

现在来证明复杂度是 $O(q\log n)$ 的。

考虑下面一颗线段树，把我们维护的区间最大值标记在节点上：

对于相同的权值，我们只取最上面的那个节点：

那么有个性质，就是一个节点的区间最大值就是这个节点的权值，次大值是它儿子权值的最大值。

现在，我们将一个区间 $[l,r]$ 与 $v$ 取 $\min$ 。我们把 $v$ 看作一个标记，这可能会将一些节点的权值修改为 $v$ ，我们把这次操作所产生的标记记为同一类。当我们暴力递归的时候，至少会存在一类标记大于 $v$ ，也就是至少会有 一类标记 被清除。

每次操作都会新增一类标记，每类标记的个数最多只有 $\log n$ 个。所以均摊下来总时间复杂度为 $O(q\log n)$ 。

更严谨的证明可以到文末看吉老师的论文。

如果加上了类似区间加的操作，时间复杂度肯定不会超过 $O(q\log^2 n)$ ，但实际上跑的跟 $O(q\log n)$ 差不多。

历史最大值

先来个简单一点的问题：给你一个序列，你需要支持区间加，区间查最大值，区间查历史最大值。

对于前两个操作，我们对区间加打个 $\text{tag}$ ，维护一下区间最大值，每次下传标记就给区间最大值加上 $\text{tag}$ 就行了。

然后来看一下历史最大值怎么维护。对于 $\text{pushup}$ ，直接对左右儿子取 $\max$ 即可，重点是 $\text{pushdown}$ 。

在维护当前节点标记的时候，可能会发生如下操作： $+5$ ， $+4$ ， $-3$ ，最终标记上的值就是 $+5+4-3=+6$ 。而在这期间某个时刻，这个标记达到了 $+5+4=+9$ ，比最终的 $+6$ 要大，所以历史最大值应该更可能是在 $+9$ 的时候取到，而不是 $+6$ 。

所以除了维护区间加的标记，还需要维护 这个标记的历史最大值，用于区间历史最大值的更新。

于是在下传的时候，我们将区间历史最大值与原本区间的值 + 标记历史最大值取个 $\max$ 就行了。代码如下：

void addtag(ll x,ll t1,ll t2){//t1为区间加的标记，t2为标记历史最大值 
	his[x]=max(his[x],maxx[x]+t2);
	histag[x]=max(histag[x],tag[x]+t2);
	maxx[x]+=t1;
	tag[x]+=t1;
}

这就是最基本的历史最值问题，但当它与一些奇奇怪怪的操作（比如前面的区间取最值问题）结合起来的时候，一切都会变的复杂起来。

一些题目

CPU 监控

历史最值入门题目，虽然比较难写，但可以说是这类题目中最好写的一题了。

相比于前面的例题，这题多了一个区间赋值的操作。所以要多记录两个 $\text{tag}$ ，表示覆盖的值和覆盖的历史最大值。

注意一旦出现覆盖，那么区间加的 $\text{tag}$ 就没用了，以后的区间加要标记在区间赋值的 $\text{tag}$ 。

代码

线段树 3

这题就是将前面讲的两种操作合并在了一起。按照惯例，区间取 $\min$ 需要维护区间最大值与次大值，历史最值需要维护区间历史最大值，同时还要维护区间和。

对于 $\text{pushdown}$ ，我们只需要维护加法标记，最大值加法标记，以及对应的历史最大值。

代码会很难写，细节很多，但是熟练就好了。

代码

Cartesian Tree

前两题写吐了，就来做点小清新题吧。

看看大根笛卡尔树有什么性质：中序遍历为原序列顺序，父亲节点权值比儿子大。那么忽略权值 $\leq k$ 的限制，假设 $i$ 左边第一个权值比 $i$ 大的位置为 $l_i$ ，右边第一个权值比 $i$ 大的位置为 $r_i$ ， $i$ 子树对应到原序列的区间就是 $(l_i,r_i)$ 。所有点的子树和就是 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{r_i-l_i-1}$ 。

将 $l_i$ 和 $r_i$ 分开计算，我们现在要求所有权值 $\leq k$ 的点的 $r_i$ 之和（ $l_i$ 同理）。因为权值互不相同，所以将序列上的数按权值从小到大加入。假设我们已经计算完 $< k$ 的 $r_i$ ，现在加入一个数，其位置为 $pos$ ，权值为 $k$ ，那么这个数的 $r_i$ 就是 $k+1$ 。因为它比前面加入的数都要大，所以在 $pos$ 左边的数的 $r_i$ 都不能超过它，也就是将 $1 \sim pos-1$ 的 $r_i$ 跟 $pos$ 取 $\min$ 。因为在 $pos$ 的位置新插了一个数，所以 $pos+1 \sim n$ 的 $r_i$ 都要 $+1$ 。

现在问题变成了单点修改，区间取 $\min$ ，区间加，全局求和，用 Segment Tree Beats 解决，时间复杂度 $O(n\log^2 n)$ 。

代码

Stations

直接维护广播站能被多少广播站传播显然十分麻烦，考虑维护一个广播站能传播到哪些地方。找到第 $i$ 个广播站右边第一个比它高的广播站位置，记为 $pos_i$ ，那它能传播到的广播站就是 $[i,\min(w_i,pos_i-1)]$ ，我们称 $r_i=\min(w_i,pos_i-1)$ 。

对于 $1$ 操作，先把 $r_i$ 赋为 $g$ 。因为它现在是最高的广播站了，所以它左边广播站的 $r_i$ 都不能超过它，于是对左边的 $r_i$ 与 $i$ 取 $\min$ ，用 Segment Tree Beats 即可。

对于 $2$ 操作，计算有多少个 $[i,r_i]$ 包含它。再建一棵线段树，对每一个 $i$ ，就在 $[i,r_i]$ 加 $1$ ，然后单点查询。至于如何维护，直接在操作 $1$ 的过程中更改即可。

具体来说，在操作 $1$ 的时候，我们要修改某些节点的最大值，比如将 $maxx$ 修改为 $v$ ，那就在第二颗线段树上把 $[v+1,maxx]$ 减去最大值个数就行了。

代码

Karen and Cards

设三元组为 $(x,y,z)$ ，一个暴力的想法是枚举前两维，然后计算合法的第三维个数。

先枚举 $x \in [1,p]$ ，然后枚举 $y$ 。如果发现存在 $i$ 使得 $a_i \geq x$ 且 $b_i \geq y$ ，那么无论 $z$ 是什么它都是不合法的。所以 $y > \displaystyle\max_{a_i \geq x}{b_i}$ 。

再考虑 $z$ ，如果存在 $i$ 使得 $a_i \geq x$ ，那么 $z > c_i$ ，否则无论如何都不合法，所以 $z > \displaystyle\max_{a_i \geq x}{c_i}$ 。同理， $z > \displaystyle\max_{a_i < x,b_i \geq y}{c_i}$ ，故 $z > \max(\displaystyle\max_{a_i \geq x}{c_i},\displaystyle\max_{a_i < x,b_i \geq y}{c_i})$ ，合法个数为 $r-\max(\displaystyle\max_{a_i \geq x}{c_i},\displaystyle\max_{a_i < x,b_i \geq y}{c_i})$ 。

如果只枚举一层，设 $Bmax=\displaystyle\max_{a_i \geq x}{b_i},Cmax=\displaystyle\max_{a_i \geq x}{c_i},f_y=\displaystyle\max_{a_i < x,b_i \geq y}{c_i}$ ，则前两个可以通过倒序枚举 $x$ 预处理。至于 $f_y$ ，可以从小到大枚举 $x$ ，把 $a_i=x$ 的三元组一个个加进去，然后将 $y \leq b_i$ 的 $f_y$ 对 $c_i$ 取 $\max$ 。