园龄：4年11个月粉丝：42 关注：3

【PER #1】捉迷藏 / Ptz2022 Day1.Kyoto U L 题解

今天心血来潮想改一改 pj 的题，发现了这场 easy round 的 A 还没改……

跟自己和解了，想了两天没想明白，说说大致思路。

题目链接

只考虑一组询问怎么做，先把 $v$ 当作根，称那些始终满足距离条件的点就做“备选点”。

首先第一步 $B$ 肯定要选定一个儿子走下去，然后根据获得的距离信息再做抉择。假设现在走到了 $u$ ，如果“备选点”还在 $u$ 的子树内，那么跟第一步一样，还是需要选定一个儿子走下去。

所以最坏情况下， $B$ 会往下走 $h=\lfloor \frac{d-1}{2} \rfloor$ 步，此时再往下走就寄了。

同时， $B$ 在“备选点”还在子树内的时候，不会在中途往回走。因为最终时间取决于 $A$ 追上来的时间， $B$ 只要确定终点，无论中途怎么走， $A$ 都会朝 $B$ 即终点方向走，除非 $B$ 玩脱了让 $A$ 堵住了通往终点的路。

所以现在相当于要确定一个从 $v$ 往下长度为 $h$ 的路径，当“备选点”还在 $u$ 子树内时让 $u$ 沿这条路径走。

当然，除了上面的情况，还有可能 $B$ 走着走着发现“备选点”不在下面了，此时 $B$ 有两种抉择：

铁了心往下面走
赶紧回头碰碰运气，看能不能在 $A$ 追上来前走一条更长的路。

实际上第二种走法非常劣，如果选择了回头走更长的路，那还不如一开始就走这条更长的路，这样更不容易被 $A$ 抓到，反正用时也一样（与前面分析不会往回走一样）。所以一旦 $B$ 发现“备选点”不在下面了，就会往子树内最深的叶子走。

所以如上分析， $B$ 一开始就会朝着最远点走，且一定会走 $h$ 步。

假设 $B$ 走 $h$ 步后停在了 $x$ ，现在，我们只需要分析最劣的那种情况————“备选点”在 $x$ 子树内，然后算出答案。

（为什么是最劣的？因为上面说了“备选点”不在 $x$ 子树内的话， $B$ 就会往最远点走，而 $A$ 当然不想便宜 $B$ ，所以肯定会堵住这条路，即在 $x$ 子树内）

这时 $B$ 要么朝着没有“备选点”的儿子走，要么往上走。考虑怎么快速计算。

首先 $v$ 的最远点一定是树的直径端点之一，可以快速计算。将 $v$ 的最远点当作根，可以用倍增快速将 $v$ 跳到 $x$ 。接着 $x$ 的父亲肯定不能走（因为是最远点，上面一定有“备选点”），只需要考虑 $x$ 的子树就行了。

设 $x$ 是从 $y$ 跳上来的，那么第二种情况相当于求 $y$ 子树内的最深叶子，可以快速维护。

至于第一种情况，没有“备选点”的儿子相当于其最深叶子深度 $< d-h-1$ ，可以用 vector 或 set 记录 $x$ 每个儿子子树的最深叶子深度，排序后二分即可。

时间复杂度 $\mathcal O(n\log n)$ 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using namespace my_std;
ll n,q,head[100010],cnt=0,dep[100010],rt;
struct node{
	ll nxt,to;
}e[200020];
void add(ll u,ll v){
	e[++cnt].nxt=head[u];
	e[cnt].to=v;
	head[u]=cnt;
}
struct tree{
	vector<ll> vec[100010];
	ll rt,dep[100010],maxdep[100010],f[100010][22];
	void dfs(ll fa,ll u){
		dep[u]=dep[fa]+1;
		f[u][0]=fa;
		fr(i,1,18) f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
		go(u){
			ll v=e[i].to;
			if(v==fa) continue;
			dfs(u,v);
			maxdep[u]=max(maxdep[u],maxdep[v]+1);
			vec[u].push_back(maxdep[v]+1);
		}
		sort(vec[u].begin(),vec[u].end());
	}
	void init(ll RT){
		rt=RT;
		dfs(0,rt);
	}
	ll jump(ll x,ll t){
		pfr(i,18,0) if(t&(1ll<<i)) x=f[x][i];
		return x;
	}
	ll query(ll x,ll d){
		ll h=(d-1)/2,ans=0;
		if(h){
			x=jump(x,h-1);
			ans=max(ans,d-h+maxdep[x]+1);
			x=f[x][0];
		}
		ll tmp=lower_bound(vec[x].begin(),vec[x].end(),d-h)-vec[x].begin()-1;
		if(tmp>=0) ans=max(ans,d-h+vec[x][tmp]);
		else ans=max(ans,d-h);
		return ans;
	}
}t1,t2;
void dfs(ll fa,ll u){
	dep[u]=dep[fa]+1;
	if(dep[u]>dep[rt]) rt=u;
	go(u){
		ll v=e[i].to;
		if(v==fa) continue;
		dfs(u,v);
	}
}
int main(){
	n=read();
	q=read();
	fr(i,2,n){
		ll u=read(),v=read();
		add(u,v);
		add(v,u);
	}
	dfs(0,1);
	ll nrt=rt;
	rt=0; 
	t1.init(nrt);
	dfs(0,nrt);
	t2.init(rt);
	while(q--){
		ll v=read(),d=read();
		if(t1.dep[v]>=t2.dep[v]) writeln(t1.query(v,d));
		else writeln(t2.query(v,d));
	}
}