CF457B Distributed Join
题意简述
给定数组 \(a\) 和 \(b\)，大小为 \(n\) 和 \(m\)，每次操作可以把 \(a\) 数组或 \(b\) 数组里的任意位置的数复制到任意其他位置，其代价为该位置的值。最后需要满足 \(a\) 数组的任意位置与 \(b\) 数组的任意位置都被复制到了同一个地方。求最小代价。
题目分析
考虑 \(a\) 数组的位置 \(i\) 和 \(b\) 数组的位置 \(j\)，要将这两个位置复制到同一个地方，有两种情况：
-
直接把 \(a_i\) 复制到 \(b_j\)（假设 \(a_i \leq b_j\)，反之同理）
-
将 \(a_i\) 复制到另一个地方 \(a_k\)，再把 \(b_j\) 复制到 \(a_k\)（也可以复制到 \(b_k\)，同理）
第二种情况看似代价更大一点，但实际上同时满足了 \(b_j\) 与 \(a_i\)，\(a_k\) 复制到同一地方的条件。
于是考虑贪心。
令 \(sum_b\) 为 \(b\) 数组所有元素的和，\(max_a\) 为 \(a\) 数组的最大值，\(pos_a\) 为 \(a\) 数组中最大值的位置。
假设将 \(b\) 数组的所有位置复制到 \(a\) 的所有位置上，因为 \(b\) 中每个数都要复制到 \(a\) 上 \(n\) 次，所以总的操作代价是 \(n \times sum_b\)。当然这只用到了情况1，还没有用到情况2。
在上面的情况下，\(b\) 数组的所有位置都已经复制到了 \(a_k\) 上，那如果我们把 \(a_i\) 复制到 \(a_k\) 呢？那是不是 \(b\) 数组就不用了复制到 \(a_i\) 了，因为它们都在 \(a_k\) 上。这样的代价是 \(a_i\)，但我们的总代价又减少了复制到 \(a_i\) 上的代价 \(sum_b\)。于是当 \(a_i \leq sum_b\) 时，考虑用情况2。
怎么取 \(a_k\) 呢？可以将 \(k\) 取 \(pos_a\)，即 \(a_k\) 为 \(max_a\)。因为这样总代价肯定会更小一点。
Q ： 有没有可能可以先把 \(a_i\) 复制到 \(b_j\) 上，再把 \(b_j\) 复制到 \(a_k\) 上呢（即互相复制到对方数组上）？这样上面的做法就考虑不到这种情况了。
A ： 可能，但是这等价于第2种情况，代价也一样。
Q ： 为什么不能将 \(a\) 数组复制到 \(b\) 数组上呢？
A ： 同理，两种情况取 \(\min\) 即可。
于是就做完了。时间复杂度 \(O(n)\)，绰绰有余。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace my_std{
#define ll long long
#define pc putchar
#define fr(i,x,y) for(register ll i=(x);i<=(y);i++)
#define il inline
il ll read(){
ll sum=0,f=1;
char ch=0;
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch)){
sum=sum*10+(ch^48);
ch=getchar();
}
return sum*f;
}
il void write(ll x){
if(x<0){
x=-x;
pc('-');
}
if(x>9) write(x/10);
pc(x%10+'0');
}
}
using namespace my_std;
ll n,m,a[100010],b[100010],maxa=0,posa,maxb=0,posb,suma=0,sumb=0,ans1=0,ans2=0;
//maxa：最大值 posa：最大值的位置 suma：a 数组所有数的和 ans1：把 b 复制到 a 的最小代价
int main(){
n=read();
m=read();
fr(i,1,n){
a[i]=read();
suma+=a[i];
if(a[i]>maxa){
maxa=a[i];
posa=i;
}
}
fr(i,1,m){
b[i]=read();
sumb+=b[i];
if(b[i]>maxb){
maxb=b[i];
posb=i;
}
}
fr(i,1,n){//分类讨论
if(i==posa) ans1+=sumb;//如果 i 已经是最大值的位置了，就不用复制到自己
else if(a[i]<=sumb) ans1+=a[i];
else ans1+=sumb;
}
fr(i,1,m){//同理
if(i==posb) ans2+=suma;
else if(b[i]<=suma) ans2+=b[i];
else ans2+=suma;
}
write(min(ans1,ans2));//取最小值
}
