CF1061C Multiplicity

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题目大意

从序列$a_1,a_2,\ldots,a_n$中选出非空子序列$b_1,b_2,\ldots,b_k$，一个子序列合法需要满足$∀i\in[1,k],i|b_i$。求有多少互不相等的合法子序列，答案对$10^9+7$取模。

思路

一看到题，就会想起$dp$，然后根据这类题的套路，就是设$f_{i,j}$为$a$序列的前$i$个数中长度为$j$的合法子序列有多少个。不难想到转移方程：

$$f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}\times[a_i％j==0]$$

但是这样时间复杂度就是$O(n\cdot max(a_i))$，严重超时，所以考虑优化。

因为第一维的$i$只和$i-1$有关，而且$j$要是$a_i$的因数，所以可以预处理出所有$a_i$的因数，第二维只用遍历$a_i$的因数就可以了。于是我们定义$f_i$为造了长度恰好为$i$的⼦序列的⽅案数（跟$a$序列的长度无关），$ys_{i,j}$为$a_i$的第$j$个因数，则转移方程如下：

$$f_{ys_{i,j}}=f_{ys_{i,j}}+f_{ys_{i,j}-1}(ys数组记录a_i的因数)$$

这样子时间复杂度就是$O(n\sqrt{a_i}{})$，就可以过了。是不是很简单？

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;
vector<int> ys[100001];
int n,a[100001],f[1000001],ans=0;
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=sqrt(a[i]);j++){
			if(a[i]%j==0){
				ys[i].push_back(j);
				if(j*j!=a[i]) ys[i].push_back(a[i]/j);
			}
		}
	}
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=ys[i].size()-1;j>=0;j--){
			f[ys[i][j]]=(f[ys[i][j]]+f[ys[i][j]-1])%mod;
			ans=(ans+f[ys[i][j]-1])%mod;
		}
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

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完结撒花