[容斥] Codeforces 449D Jzzhu and Numbers

题目大意

给定一个长为 \(n(1\leq n\leq 10^6)\) 的数组 \(\{a_n\}\)，\(0\leq a_i\leq 10^6\)，求这个数组中有多少个非空子序列按位与起来等于 \(0\)，答案对 \(10^9+7\) 取模。

题解

正难则反，首先考虑求出有多少个子序列按位与起来不为 \(0\)，然后再用子序列总数去减即为答案。

设 \(S\) 是所有二进制位的集合，\(g(T)\) 表示按位与后至少在 \(T\) 中的二进制位上为 \(1\) 的子序列的个数，则有

\[ans=(2^n-1)-\sum_{T\subseteq S\land T\neq\emptyset}(-1)^{|T|-1} g(T) \]

要求出 \(g(T)\)，可以先用高维前缀和求出 \(T\) 的超集大小 \(f(T)\)，然后 \(g(T)=2^{f(T)}-1\)。

之后再容斥即可。

题解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define LL long long

template<typename elemType>
inline void Read(elemType& T) {
    elemType X = 0, w = 0; char ch = 0;
    while (!isdigit(ch)) { w |= ch == '-';ch = getchar(); }
    while (isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    T = (w ? -X : X);
}

const LL MOD = 1e9 + 7;
const int m = 20;
int f[1 << 20], pow2[(1 << 20) + 1];
int n;

int main() {
    Read(n);
    for (int i = 1;i <= n;++i) { int x; Read(x); ++f[x]; }
    pow2[0] = 1;
    for (int i = 1;i <= (1 << m);++i) {
        pow2[i] = pow2[i - 1] << 1;
        if (pow2[i] > MOD) pow2[i] -= MOD;
    }
    for (int i = 0;i < m;++i)
        for (int j = 0;j < (1 << m);++j)
            if (!(j & (1 << i))) f[j] = (f[j] + f[j ^ (1 << i)]) % MOD;
    for (int i = 0;i < (1 << m);++i) {
        f[i] = (pow2[f[i]] - 1);
        if (f[i] < 0) f[i] += MOD;
    }
    for (int i = 0;i < m;++i) {
        for (int j = 0;j < (1 << m);++j) {
            if (j & (1 << i)) {
                f[j] -= f[j ^ (1 << i)];
                if (f[j] < 0) f[j] += MOD;
            }
        }
    }
    LL ans = pow2[n] - 1 + (f[(1 << m) - 1] - f[0]);
    ans = (ans % MOD + MOD) % MOD;
    printf("%I64d\n", ans);

    return 0;
}