[多项式][洛谷 P5488] 差分与前缀和
题目大意
给定一个长为 \(n\) 的序列 \(\{a_n\}\)，求出其 \(k\) 阶差分或前缀和序列。
结果的每一项都需要对 \(1004535809\) 取模。\(1\leq n\leq 10^5,0\leq a_i\leq 10^9,1\leq k\leq 10^{2333},k\not\equiv 0(\mathrm{mod}\ 1004535809)\)
题解
首先考虑前缀和。
设 \(\{a_n\}\) 的一阶前缀和序列为 \(\{s_n\}\)，设 \(\{a_n\}\) 的生成函数 \(a(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i\)，\(\{s_n\}\) 的生成函数是 \(s(x)=\sum_{i=1}^n s_ix^i\)。
而 \(s_n=x^n\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^na_ix^i\cdot x^{n-i+1}\)。
设 \(g(x)=\sum_{i=0}^{\infty} x^i\)，则 \(s(x)=a(x)*g(x)\)。
那么 \(\{a_n\}\) 的 \(k\) 阶前缀的生成函数\(s_k(x)=a(x)*g^k(x)\)。
由麦克劳林公式， \(\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x}\)，所以 \(s_k(x)=a(x)*\left(\frac{1}{1-x}\right)^k\)。
考虑怎么求 \(\left(\frac{1}{1-x}\right)^k\) 的 \(n\) 次项系数。由广义二项式定理有
所以 \(\left(\frac{1}{1-x}\right)^k\) 的 \(n\) 次项系数为 \(\binom{k+n-1}{n}\)。
设 \(f(n)=\binom{k+n-1}{n}\)，则 \(f(n)=\frac{k+n-1}{n}f(n-1)\)。
我们先求出第一项，然后递推求出后面的系数。
然后使用NTT对 \(a(x)\) 和 \(\left(\frac{1}{1-x}\right)^k\) 作卷积，即可求出 \(k\) 阶前缀和。
然后考虑差分。
设 \(h(x)\) 是 \(\{a_n\}\) 的一阶差分的生成函数，则
那么 \(k\) 阶差分有
由二项式定理
于是 \((1-x)^k\) 的 \(n\) 次项系数是 \((-1)^k\binom{k}{i}\)。
而 \(\binom{k}{i}=\frac{k-n+1}{n}\binom{k}{n-1}\)，所以我们也可以递推求得。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RG register int
#define LL long long
template<typename elemType>
inline void Read(elemType& T) {
elemType X = 0, w = 0; char ch = 0;
while (!isdigit(ch)) { w |= ch == '-';ch = getchar(); }
while (isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
T = (w ? -X : X);
}
inline LL ExPow(LL b, LL n, LL MOD) {
if (MOD == 1) return 0;
LL x = 1;
LL Power = b % MOD;
while (n) {
if (n & 1) x = x * Power % MOD;
Power = Power * Power % MOD;
n >>= 1;
}
return x;
}
const int maxn = 270000;
const LL P = 1004535809LL, G = 3, Gi = 334845270;
namespace Poly {
int r[maxn];
LL buf[maxn], buf1[maxn], buf2[maxn], buf3[maxn], buf4[maxn];
int L, limit;
LL pinv(LL x) { return ExPow(x, P - 2, P); }
//快速数论变换 type=1:正变换 type=-1:逆变换
void NTT(LL* A, int type) {
for (int i = 0; i < limit; i++)
if (i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]);
for (int mid = 1; mid < limit; mid <<= 1) {
LL Wn = ExPow(type == 1 ? G : Gi, (P - 1) / (mid << 1), P);
for (int j = 0; j < limit; j += (mid << 1)) {
LL w = 1;
for (int k = 0; k < mid; k++, w = (w * Wn) % P) {
int x = A[j + k], y = w * A[j + k + mid] % P;
A[j + k] = (x + y) % P;
A[j + k + mid] = (x - y + P) % P;
}
}
}
if (type == 1) return;
LL inv_limit = pinv(limit);
for (int i = 0; i < limit; ++i)
A[i] = A[i] * inv_limit % P;
}
//多项式卷积 a(x): N-1次多项式 b(x): M-1次多项式
void Conv(LL* A, int N, LL* B, LL M, LL* C) {
L = 0; limit = 1;
while (limit <= N + M) limit <<= 1, L++;
for (int i = 0; i < limit; i++) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
NTT(A, 1); NTT(B, 1);
for (int i = 0; i < limit; i++) C[i] = A[i] * B[i] % P;
NTT(C, -1);
}
}
char K[2500];
LL a[maxn], b[maxn], c[maxn], s[maxn], h[maxn], Inv[maxn];
int n, m, opt;
LL k = 0;
void Init() {
Inv[1] = 1;
for (int i = 2;i <= 200000;++i)
Inv[i] = ((-(P / i) * Inv[P % i]) % P + P) % P;
return;
}
void PrefixSum() { // k阶前缀和
s[0] = 1;
for (int i = 1;i <= n;++i)
s[i] = ((k + i - 1) % P + P) % P * Inv[i] % P * s[i - 1] % P;
Poly::Conv(a, n + 1, s, n + 1, s);
for (int i = 1;i <= n;++i)
printf("%lld ", s[i]);
printf("\n");
}
void Diff() { // k阶差分
h[0] = 1;
for (int i = 1;i <= n;++i)
h[i] = (-1LL * (k - i + 1) % P + P) % P * Inv[i] % P * h[i - 1] % P;
Poly::Conv(a, n + 1, h, n + 1, h);
for (int i = 1;i <= n;++i)
printf("%lld ", h[i]);
printf("\n");
}
int main() {
Init();
scanf("%d%s%d", &n, K + 1, &opt);
m = strlen(K + 1);
for (int i = 1;i <= m;++i)
k = (k * 10 + K[i] - '0') % P;
for (int i = 1;i <= n;++i)
Read(a[i]);
if (opt == 0) PrefixSum();
else Diff();
return 0;
}
