[动态规划]Codeforces 1453F Even Harder

题目大意

给定数组 \(a\)，\(a_i\)​ 表示从 \(i\) 能走到 \([i+1,i+a_i]\)，问至少需要把几个 \(a_i\)​ 改成 \(0\)，才能使得 \(1\) 到 \(n\) 有且仅有一条路径。\(n \leq 3000\)。

题解

这题的难度不至于2700吧...

首先容易想到我们可以设 \(dp[i]\) 表示使得从 \(1\) 到 \(i\) 有且仅有一条路径至少需要置0的数量，那么 \(dp[i]\) 肯定是从 \(dp[j](1\leq j< i)\) 转移过来的，并且对于所有的 \(k\in[j+1,i)\)，\(a[k]+k<i\)，不然就无法满足从 \(j\) 到 \(i\) 只有一条路径，我们可以先从 \(j\) 跳到 \(k\)，再从 \(k\) 跳到 \(i\)。

然后发现这样设有点问题，我们是从上一个状态 \(j\) 跳到 \(i\)，设 \(j\) 的上一个状态是 \(k\)，我们转移时只保证了从 \(k\) 跳到 \(j\) 只有一条路径，并且 \(k\) 与 \(j\) 之间的位置无法跳到 \(j\)，但是若 \(k\) 能直接跳到 \(i\)，那么从 \(1\) 跳到 \(i\) 就不止一种方案：先跳到 \(k\)，再跳到 \(j\)，再跳到 \(i\);先跳到 \(k\)，再直接跳到 \(j\)。我们必须想办法保留下这个信息。所以我们设 \(dp[i][j]\) 表示从 \(1\) 跳到 \(i\) 只有一条路径，并且从转移到 \(i\) 的上一个位置最远能越过 \(i\) 跳到 \(j\)，最少需置0的数量，那么有 \(dp[i][j+a[j]]=min(dp[i][j+a[j]],dp[j][k]+cnt),(j\in[1,i-1],k\in[j,n])\)，其中 \(cnt=\sum_{p=j+1}^{i-1}[p+a[p]>i]\)。我们只需让 \(j\) 从 \(i-1\) 到 \(1\) 循环，不断更新 \(cnt\)，同时维护后缀最小值 \(min\{dp[j][k]\},k\in[j,n]\)，即可以 \(O(n^2)\) 的时间复杂度解决此题。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define RG register int
#define LL long long

template<typename elemType>
inline void Read(elemType& T) {
    elemType X = 0, w = 0; char ch = 0;
    while (!isdigit(ch)) { w |= ch == '-';ch = getchar(); }
    while (isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    T = (w ? -X : X);
}

int dp[3001][3001], minn[3001][3001], a[3001];
int T, N;

int main() {
    Read(T);
    while (T--) {
        Read(N);
        for (int i = 1;i <= N;++i) {
            Read(a[i]);
            for (int j = 1;j <= N;++j)
                dp[i][j] = minn[i][j] = 0x3f3f3f3f;
        }
        dp[1][1] = 0;
        for (int i = 1;i <= N;++i)
            minn[1][i] = 0;
        for (int i = 2;i <= N;++i) {
            int cnt = 0;
            for (int j = i - 1;j >= 1;--j) {
                if (j + a[j] < i) continue;
                dp[i][j + a[j]] = min(dp[i][j + a[j]], minn[j][i - 1] + cnt);
                ++cnt;
            }
            minn[i][i] = dp[i][i];
            for (int j = i + 1;j <= N;++j)
                minn[i][j] = min(minn[i][j - 1], dp[i][j]);
        }
        printf("%d\n", dp[N][N]);
    }
    return 0;
}